Question

如圖，開口向上的拋物線y=ax²+2ax-c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點A在x軸的正半軸，點B在x的負半軸，OB=OC．
（1）求證：ac-2a=1；
（2）如果點A的坐標(biāo)為（1，0），求點B的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，問此拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC的周長最小？若存在，求出點P的坐標(biāo)；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了OB=OC=-c，因此B點坐標(biāo)為（-c，0），將其代入拋物線的解析式中，即可得出所要證的條件．
（2）根據(jù)拋物線的解析式可得出拋物線的對稱軸為x=-1，由于A、B同為拋物線與x軸的交點，因此這兩點關(guān)于拋物線對稱，由此可求出B點的坐標(biāo)．
（3）本題的關(guān)鍵是確定P點的位置，由于A、B關(guān)于拋物線對稱軸對稱，因此連接BC，直線BC與拋物線對稱軸的交點即為P點（依據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點間線段最短）．先求出直線BC的解析式，然后將拋物線對稱軸解析式代入直線BC中即可求得P點坐標(biāo)．（也可通過相似三角形來求解）

解答：（1）證明：∵C（0，-c），OB=OC，
∴B（-c，0）
∵B（-c，0）在拋物線上，
∴ac²-2ac-c=0，
即：ac-2a=1．
（2）解：由題意可知拋物線的對稱軸為x=-1，A（1，0）
∴B（-3，0）．
（3）解：存在，連接BC，BC與對稱軸的交點即為P點．
設(shè)對稱軸于x軸的交點為F，則△BPF∽△BCO，
即：

BF

BO

=

FP

OC

，

2

3

=

OP

3

；
∴OP=2；
∴P（-1，-2）．

點評：本題考查了拋物線的性質(zhì)、三角形相似、函數(shù)圖象交點等知識．