Question

（Ⅰ）如圖1，P是⊙O外一點(diǎn)，直線OP交⊙O于A，B兩點(diǎn)（PA＞PB）．取⊙O上異于A，B的一點(diǎn)Q，連接PQ．判斷PA，PB，PQ的大小關(guān)系．
（Ⅱ）如圖2，等邊△ABC的邊長為1，兩頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上運(yùn)動(dòng)，試求OC（O為原點(diǎn)）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（I）連接AQ，BQ利用圓周角定理的推論：直徑所對圓周角為直角以及三角形外角和定理和在三角形中大角對大邊即可判斷PA，PB，PQ的大小關(guān)系；
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)D，連接OD及DC，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系得到OC小于等于OD+DC，只有當(dāng)O、D及C共線時(shí)，OC取得最大值，最大值為OD+CD，由等邊三角形的邊長為1，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到BD為1，根據(jù)三線合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理求出CD的長，在直角三角形AOB中，OD為斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長求出OD的長，進(jìn)而求出DC+OD，即為OC的最大值．

解答：解：（I）連接AQ，BQ，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠2=90°，
∵∠AQP=90°+∠BQP，
∴∠AQP為鈍角，
∴在△AQP中，PA最長，即PA＞PQ，
∵∠PBQ=∠3+∠2=∠3+90°，
∴∠PBQ為鈍角，
∴在△QBP中，PQ最長，即PQ＞PB，
∴PA，PB，PQ的大小關(guān)系為：PA＞PQ＞PB；

（Ⅱ）取AB中點(diǎn)D，連OD，DC，有OC≤OD+DC，
當(dāng)O、D、C共線時(shí)，OC有最大值，最大值是OD+CD．
∵△ABC為等邊三角形，D為中點(diǎn)，
∴BD=

1

2

，BC=1，根據(jù)勾股定理得：CD=

3

2

，
又△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴OD=

1

2

AB=

1

2

，
∴OD+CD=

1

2

+

3

2

，
即OC的最大值為

1

2

+

3

2

．

點(diǎn)評：（I）本題考查了圓周角定理的推論以及三角形的外角和定理和在三角形中大角對大邊，題目難度不大但很新穎；
（Ⅱ）此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大時(shí)的長為CD+OD是解本題的關(guān)鍵．