Question

（2013•三元區(qū)質(zhì)檢）已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點(diǎn)B、C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△PQC是直角三角形？
（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線對稱軸上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使以M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC的長，再求出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間，然后表示出CP、CQ的長，然后分∠PQC=90°和∠CPQ=90°兩種情況，利用∠ACO的余弦列式其解即可；
（3）先根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸解析式，然后分①AC是平行四邊形的邊時(shí)，分點(diǎn)M在對稱軸左邊與右邊兩種情況求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式計(jì)算求出縱坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、C的縱坐標(biāo)的差距求出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，然后寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；②AC是對角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可知點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)求出點(diǎn)N即可．

解答：解：（1）∵OA=5，AB=10，OC=12，
∴點(diǎn)B（10，5），C（12，0），
∴

100a+10b=5 144a+12b=0

，
解得

a=- 1 4 b=3

，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-

1

4

x²+3x；

（2）根據(jù)勾股定理，AC=

OA2+OC2

=

52+122

=13，
∵點(diǎn)P沿AC以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q沿CO以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，
∴點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為：13÷2=6.5秒，
CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，
∵∠ACO≠90°，
∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°兩種情況討論：
①∠PQC=90°時(shí)，cos∠ACO=

CQ

CP

=

OC

AC

，
即

t

13-2t

=

12

13

，
解得t=

156

37

，
②∠CPQ=90°時(shí)，cos∠ACO=

CP

CQ

=

OC

AC

，
即

13-2t

t

=

12

13

，
解得t=

169

38

，
綜上所述，t為

156

37

秒或

169

38

秒時(shí)，△PQC是直角三角形；

（3）拋物線對稱軸為直線x=-

b

2a

=-

3

2×(- 1 4 )

=6，
①AC是平行四邊形的邊時(shí)，（i）若點(diǎn)M在對稱軸左邊，
∵OC=12，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：6-12=-6，
代入拋物線解析式得，y=-

1

4

×（-6）²+3×（-6）=-27，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-6，-27），
∵OA=5，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為：-27-5=-32，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，-32）；
（ii）若點(diǎn)M在對稱軸右邊，∵OC=12，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：6+12=18，
代入拋物線解析式得，y=-

1

4

×18²+3×18=-27，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（18，-27），
∵OA=5，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為：-27+5=-22，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，-22）；
②AC是對角線時(shí)，∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在對稱軸上，
∴點(diǎn)M也在拋物線對稱軸上，
∴點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，
∵y=-

1

4

x²+3x=-

1

4

（x-12x+36）²+9=-

1

4

（x-6）²+9，
∴M（6，9），
∵OA=5，OC=12，點(diǎn)P在對稱軸上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，

5

2

），
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為：2×

5

2

-9=-4，
∴點(diǎn)N（6，-4）；
綜上所述，M（-6，-27）、N（6，-32）或M（18，-27）、N（6，-22）或M（6，9）、N（6，-4）時(shí)，以M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，（2）（3）小題中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．