Question

（2007•大連）如圖1，直線y=-x+1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)C、D，一個含45°角的直角三角板的銳角頂點(diǎn)A在線段CD上滑動，滑動過程中三角板的斜邊始終經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∠A的另一邊與軸的正半軸相交于點(diǎn)B．
（1）試探索△AOB能否構(gòu)成以AO、AB為腰的等腰三角形？若能，請求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不能，說說明理由；
（2）若將題中“直線y=-x+1”、“∠A的另一邊與軸的正半軸相交于點(diǎn)B”分別改為“直線y=-x+t（t＞0）”、“∠A的另一邊與軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)B”（如圖2），其他條件不變，試探索△AOB能否為等腰三角形（只考慮點(diǎn)A在線段CD的延長線上且不包括點(diǎn)D時的情況）？若能，請求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先假設(shè)存在AO、AB為腰的等腰三角形．然后根據(jù)函數(shù)解析式求出C、D點(diǎn)坐標(biāo)，判斷出∠OCD=∠ODC=45，再根據(jù)角的加減法求出∠BAC=22.5°=∠DOA，進(jìn)而證出△ABC≌△OAD，可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2-，0）．
（2）若△AOB為等腰三角形，則必為一邊為底，兩邊為腰，分以下三種情況：①OA=OB，
根據(jù)∠OBA=∠OAB=45°，推出∠AOB=90°，得出矛盾；②BA=BO，根據(jù)∠BOA=∠BAO，得OA∥CA，推出矛盾，③AB=AO，根據(jù)角的加減、線段的加減和函數(shù)解析式，求出B的坐標(biāo)．
解答：解：將x=0代入y=-x+1，y=0代入y=-x+1得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為（1，0）（0，1）．則：
OC=OD=1，CD=，∠OCD=∠ODC=45°，
（1）△AOB可以構(gòu)成AO、AB為腰的等腰三角形．
∵AO=AB，∠OAB=45°
∴∠AOB=∠ABO=67.5°，∠DOA=22.5°
又∵∠AOB=∠BAC+∠ACB
即67.5°=∠BAC+45°
∴∠BAC=22.5°=∠DOA
∴△ABC≌△OAD
∴AC=OD=1，BC=AD=CD-AC=，
則OB=OC-BC=2-．
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2-，0）
即在滑動過程中△AOB可以構(gòu)成以AO、AB為腰的等腰三角形，此時點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2-，0）

（2）若△AOB為等腰三角形，則有如下三種情況：
①OA=OB，則∠OBA=∠OAB=45°，
因此∠AOB=90°，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，不合題意．
②BA=BO，則∠BOA=∠BAO，
∴OA∥CA，
因此不合題意．
③AB=AO，
∵∠BAO=45°
∴∠AOB=∠ABO=67.5°
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=22.5°
∴∠OAD=∠ODC-∠AOD=22.5°=∠AOD
∴∠ABC=∠BAC=67.5°
由y=-x+t知OC=OD=t，DC=
∴AD=OD=t，BC=AC=AD+DC=t+t
∴BO=BC-OC=
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-t，0）．
點(diǎn)評：此題為一道開放性操作題．通過三角板的移動結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)考查了同學(xué)們的探索發(fā)現(xiàn)的能力，綜合性較強(qiáng)．