Question

如圖，點(diǎn)M是平行四邊形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊BC上的一個動點(diǎn)，PE∥MB，PF∥MC，分別交MC于點(diǎn)E、交MB于點(diǎn)F，如果AB：AD=1：2，試判斷四邊形PEMF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：先證四邊形PEMF是平行四邊形，再利用邊之間的等量關(guān)系，易得AB=CD=AM=DM，再利用等邊對等角，易得
∠ABM=∠AMB，∠DMC=∠DCM，結(jié)合四邊形ABCD是?，易證∠CBM=∠ABM=

1

2

∠ABC，∠DCM=∠BCM=

1

2

∠DCB，
而∠ABC與∠DCB同旁內(nèi)角互補(bǔ)易得∠MBC+∠MCB=90°，即∠BMC=90°，從而可證四邊形PEMF為矩形．

解答：解：四邊形PEMF為矩形；（1分）
∵PE∥MB，PF∥MC，
∴四邊形PEMF為平行四邊形，（3分）
∵平行四邊形ABCD，
∴AB=CD，
∵M(jìn)是邊AD的中點(diǎn)，
∴AM=DM=

1

2

AD，
∵AB：AD=1：2，
∴AB=CD=AM=DM，（5分）
∴∠ABM=∠AMB，∠DMC=∠DCM，（6分）
∵AD∥CB，
∴∠CBM=∠AMB，∠DMC=∠BCM，（7分）
∴∠CBM=∠ABM=

1

2

∠ABC，∠DCM=∠BCM=

1

2

∠DCB，
∵AD∥CB，
∴∠ABC+∠DCB=180°，（9分）
∴∠MBC+∠MCB=90°，
∴∠BMC=90°，（10分）
∴平行四邊形PEMF為矩形．（12分）

點(diǎn)評：本題利用了?的判定和性質(zhì)、等邊對等角、平行線的性質(zhì)、矩形的判定．