Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC為直徑作⊙O交AB于點D．
（1）求線段AD的長度；
（2）點E是線段AC上的一點，試問當點E在什么位置時，直線ED與⊙O相切？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理易求得AB的長；可連接CD，由圓周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得關于AC、AD、AB的比例關系式，即可求出AD的長．
（2）當ED與⊙O相切時，由切線長定理知EC=ED，則∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可證得AE=DE，即E是AC的中點．在證明時，可連接OD，證OD⊥DE即可．
解答：解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；（1分）
連接CD，∵BC為直徑，
∴∠ADC=∠BDC=90°；
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴，∴；（3分）

（2）當點E是AC的中點時，ED與⊙O相切；
證明：連接OD，
∵DE是Rt△ADC的中線；
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD；
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD；
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED與⊙O相切．
點評：此題綜合考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質、直角三角形的性質、切線的判定等知識．