Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系中矩形OABC如圖，且A（6，0）、C（0，10），P點(diǎn)從C出發(fā)沿折線COA勻速運(yùn)動(dòng)、Q點(diǎn)從O出發(fā)沿折線OAB勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)t秒，且速度均為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)S_△OPQ=S．
（1）已知直線y=mx+m-2平分矩形OABC面積，求m的值；（經(jīng)驗(yàn)之談：過對(duì)稱中心的任意一條直線均可將中心對(duì)稱圖形分成面積相等的兩部分．）
（2）當(dāng)P點(diǎn)在CO上、Q點(diǎn)在OA上時(shí)，t為何值有S=12？
（3）求在此運(yùn)動(dòng)過程中S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）先求出矩形OABC對(duì)稱中心的坐標(biāo)，把此坐標(biāo)代入直線y=mx+m-2即可得出m的值；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在CO上、Q點(diǎn)在OA上時(shí)，OP=10-2t，OQ=2t，再根據(jù)三角形的面積公式求出t的值即可；
（3）分0＜t≤3，3＜t＜5，5＜t≤8三種情況解答即可．

解答：解：（1）∵在平面直角坐標(biāo)系中矩形OABC中A（6，0）、C（0，10），
∴矩形OABC的對(duì)稱中心為（3，5），
∴5=3m+m-2，解得m=

7

4

；

（2）∵當(dāng)P點(diǎn)在CO上、Q點(diǎn)在OA上時(shí)，OP=10-2t，OQ=2t，
∴S=

1

2

（10-2t）×2t=12，解得t₁=3，t₂=2；

（3）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，OP=10-2t，OQ=2t，
∴S=

1

2

（10-2t）•2t=-2t²+5；
當(dāng)3＜t＜5時(shí)，點(diǎn)P在OC上，點(diǎn)Q在AB上，
∴OP=10-2t，AQ=2t-6，
∴S=

1

2

（10-2t）（2t-6）×6
=-12t²+96t-180；
當(dāng)5＜t≤8時(shí)AP=16-2t，AQ=2t-6，
∴S=

1

2

（16-2t）（2t-6）=-2t²+222t+8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到三角形及梯形的面積公式、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．