Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，BE=DF．

（1）求證：AE=AF；

（2）連接AC交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)M，使OM=OA，連接EM、FM．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2) 四邊形AEMF是菱形,理由見(jiàn)解析.

【解析】（1）求簡(jiǎn)單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ABE≌△ADF；
（2）由于四邊形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；聯(lián)立（1）的結(jié)論，可證得EC=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，則EF、AM互相垂直平分，根據(jù)對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，即可判定四邊形AEMF是菱形．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF；
（2）四邊形AEMF是菱形．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角），
BC=DC（正方形鄰邊相等），
∵BE=DF（已證），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性質(zhì)），
即CE=CF，
易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OM=OA，（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
∴四邊形AEMF是平行四邊形，
∵AE=AF，
∴平行四邊形AEMF是菱形．

“點(diǎn)睛”此題主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及菱形的判定．