如圖1,連接△ABC的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的△A1B1C1,又連接△A1B1C1的各邊中點(diǎn)得到△A2B2C2,如此無(wú)限繼續(xù)下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…
已知A(0,0),B(3,0),C(2,2).
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(1)求這一系列三角形趨向于一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)如圖2,分別求出經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線解析式和經(jīng)過(guò)A1,B1,C1三點(diǎn)的拋物線解析式;
(3)設(shè)兩拋物線的交點(diǎn)分別為E、F,連接EF、EC1、FC1、EC2、FC2、C1C2,問(wèn):C2與△EC1F的關(guān)系是什么?
(4)如圖3,問(wèn):A,A2,C,C2四點(diǎn)可不可能在同一條拋物線上,試說(shuō)明理由.
分析:(1)由圖可知點(diǎn)M應(yīng)該是△ABC的重心,可依據(jù)平面直角坐標(biāo)系中,三角形重心的坐標(biāo)是三角形三頂點(diǎn)的算術(shù)平均數(shù)來(lái)求出重心M的坐標(biāo);
(2)可先根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和中位線定理求出A1、B1、C1三點(diǎn)坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法分別求出兩條拋物線的解析式;
(3)由于拋物線同時(shí)過(guò)E、F兩點(diǎn),可聯(lián)立(2)中兩個(gè)拋物線的解析式,然后得出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,求出的兩個(gè)解便是E、F點(diǎn)的坐標(biāo).然后求出C2的坐標(biāo),如果C2的橫坐標(biāo)大于或小于△EFC1的所有頂點(diǎn)橫坐標(biāo),則說(shuō)明C2在△EFC1外,如果不是這樣,則E、F和C1坐標(biāo)都知道了,則根據(jù)兩點(diǎn)式方程求出△EFC1三邊所在直線的方程,將C2的橫坐標(biāo)分別代入這三個(gè)直線方程,
①如果求出的結(jié)果全大于或小于C2的縱坐標(biāo),則說(shuō)明C2在△EFC1外;
②如果求出的結(jié)果中有一至兩個(gè)等于C2的縱坐標(biāo),則說(shuō)明C2在△EFC1的邊上,甚至頂點(diǎn)上;
③如果求出的結(jié)果不全大于或小于C2的縱坐標(biāo),則說(shuō)明C2在△EFC1內(nèi).
(4)先用三點(diǎn)的坐標(biāo)確定一個(gè)拋物線的解析式,然后將剩下的一點(diǎn)代入拋物線中即可判斷出四點(diǎn)是否在同一拋物線上.
解答:解:(1)由題意可知:M點(diǎn)的坐標(biāo)為(
0+3+2
3
,
0+0+2
3
),
即M(
5
3
,
2
3
);

(2)設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a(x-0)(x-3),
則有:2=a×(2-0)×(2-3),解得a=-1,
因此過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-x2+3x,
可求得A1、B1、C1的坐標(biāo)分別為A1
5
2
,1),B1(1,1),C1
3
2
,0),
設(shè)過(guò)這三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,則有:
25
4
a+
5
2
b+c=1
a+b+c=1
9
4
a+
3
2
b+c=0

解得:
a=2
b=-7
c=6

即A1,B1,C1三點(diǎn)的拋物線解析式為y=2x2-7x+6;

(3)根據(jù)題意有:2x2-7x+6=-x2+3x
即3x2-10x+6=0
解得x=
5+
7
3
,x=
5-
7
3

由于E在F點(diǎn)左側(cè),
因此E(
5-
7
3
,
13+19
7
9
),F(xiàn)(
5+
7
3
,
13-
7
9

由題意可知C2的坐標(biāo)為(
7
4
,1)
然后將C2的坐標(biāo)代入△EFC1三邊所在的直線中,可得出C2在△EFC1外;

(4)A,A2,C,C2四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:(0,0),(
5
4
,0)(2,2)(
7
4
,1),
設(shè)過(guò)A、A2、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=m(x-0)(x-
5
4
),
則有2=m×(2-0)×(2-
5
4
),m=
4
3
,
因此拋物線的解析式為:y=
4
3
x2-
5
3
x…①
將C2點(diǎn)的坐標(biāo)代入①中可得:
4
3
×
49
16
-
7
4
×
5
3
=
14
12
≠1
因此:A,A2,C,C2四點(diǎn)不可能在同一條拋物線上.
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、中位線定理、三角形重心等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng).能力要求高.考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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