Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線m∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線m于點E，垂足為點F，連接CD，BE．

（1）求證：CE=AD；

（2）當點D是AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；

（3）當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？（不需要證明）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是菱形，理由見解析；（3）當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由見解析

【解析】

（1）首先由已知直線m∥AB，可推出∠ECD=∠ADC，再由DE⊥BC，得DE∥AC，推出∠EDC=∠ACD，CD為公共邊，所以推出△EDC≌△ADC，得證．

（2）首先由D是AB中點和（1）證得DE∥AC，得F為BC中點，即BF=CF，再由已知證△BFD≌△CFE，則DF=EF，已知DE⊥BC，所以BC和DE垂直且互相平分，故得四邊形BECD是菱形．

（3）由四邊形BECD是正方形可推出∠ABC=45°，即得∠A=45°．

（1）∵直線m∥AB，

∴∠ECD=∠ADC，

又∵∠ACB=90°，DE⊥BC，

∴DE∥AC，

∴∠EDC=∠ACD，CD=CD，

∴△EDC≌△ADC，

∴CE=AD

（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是菱形．

∵D是AB中點，DE∥AC

∴F為BC中點，即BF=CF，

∵直線m∥AB

∴∠ECF=∠DBF，∠BFD=∠CFE，

∴△BFD≌△CFE，

∴DF=EF，

∵DE⊥BC，

∴BC和DE垂直且互相平分，

故四邊形BECD是菱形．

故答案為：當D在AB中點時，四邊形BECD是菱形，理由見解析

（3）∵四邊形BECD是正方形

∴∠ABC=45°，

∵∠ACB=90°

∴∠A=45°

故答案為：當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由見解析