Question

已知拋物線C：y＝ax²＋bx＋c(a＜0)過原點，與x軸的另一個交點為B(4，0)，A為拋物線C的頂點．

(1)如圖，若∠AOB＝60°，求拋物線C的解析式；

(2)如圖，若直線OA的解析式為y＝x，將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線，求拋物線C、的解析式；

(3)在(2)的條件下，設為拋物線的頂點，求拋物線C或上使得PB＝P的點P的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

(1)連接AB．∵A點是拋物線C的頂點，且C交x軸于O、B，∴AO＝AB， 　　又∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等邊三角形　　1分 　　過A作AD⊥x軸于D，在Rt△OAD中，易求出OD＝2，AD＝， 　　∴頂點A的坐標為(2，)　　2分 　　設拋物線C的解析式為(a≠0)，將O(0，0)的坐標代入，可求a＝， 　　∴拋物線C的解析式為　　3分 　　(2)過A作AE⊥OB于E， 　　∵拋物線C：過原點和B(4，0)，頂點為A，∴OE＝OB＝2， 　　又∵直線OA的解析式為y＝x，∴AE＝OE＝2，∴點A的坐標為(2，2)　　4分 　　將A、B、O的坐標代入中，易求a＝， 　　∴拋物線C的解析式為　　5分 　　又∵拋物線C、關于原點對稱，∴拋物線的解析式為　　6分 　　(3)作B的垂直平分線l，分別交B、x軸于M、N(n，0)， 　　由前可知，拋物線的頂點為(－2，－2)，故B的中點M的坐標為(1，－1)， 　　作MH⊥x軸于H，易證△MHN∽△BHM，則，即， 　　∴，即N點的坐標為(，0)． 　　∵直線l過點M(1，－1)、N(，0)，∴直線l的解析式為　　8分 　　解得，． 　　∴在拋物線C上存在兩點使得，其坐標分別為 　　P1(，)，P2(，)　　9分 　　解得，． 　　∴在拋物線上也存在兩點使得，其坐標分別為 　　P3(－5＋，17－3)，P4(－5－，17＋3)　　10分 　　(用兩點間的距離公式解決亦可)