Question

如圖，已知拋物線P：y＝ax²＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(點A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應(yīng)的縱坐標如下：

(1)求A、B、C三點的坐標；

(2)若點D的坐標為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系，并指出m的取值范圍；

(3)當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM＝k·DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍．

若因為時間不夠等方面的原因，經(jīng)過探索、思考仍無法圓滿解答本題，請不要輕易放棄，試試將上述(2)、(3)小題換為下列問題解答(已知條件及第(1)小題與上相同，完全正確解答只能得到5分)：

(2)若點D的坐標為(1，0)，求矩形DEFG的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：⑴解法一：設(shè)，任取x，y的三組值代入，求出解析式，　　　　1分 　　令y＝0，求出；令x＝0，得y＝－4， 　　∴A、B、C三點的坐標分別是A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．　　　　3分 　　解法二：由拋物線P過點(1，－)，(－3，)可知， 　　拋物線P的對稱軸方程為x＝－1，　　　　1分 　　又∵拋物線P過(2，0)、(－2，－4)，則由拋物線的對稱性可知， 　　點A、B、C的坐標分別為A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．　　　　3分 　　⑵由題意，，而AO＝2，OC＝4，AD＝2－m，故DG＝4－2m，　　　　4分 　　又，EF＝DG，得BE＝4－2m，∴DE＝3m，　　　　5分 　　∴SDEFG＝DG·DE＝(4－2m)3m＝12m－6m2(0＜m＜2)．　　　　6分 　　注：也可通過解Rt△BOC及Rt△AOC，或依據(jù)△BOC是等腰直角三角形建立關(guān)系求解． 　　⑶∵SDEFG＝12m－6m2(0＜m＜2)，∴m＝1時，矩形的面積最大，且最大面積是6． 　　當矩形面積最大時，其頂點為D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)，　　　　7分 　　設(shè)直線DF的解析式為y＝kx＋b，易知，k＝，b＝－，∴， 　　又可求得拋物線P的解析式為：，　　　　8分 　　令＝，可求出x＝．設(shè)射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標為，過N作x軸的垂線交x軸于H，有＝＝，　　　　9分 　　點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取值范圍是k≠且k＞0．　　　　10分 　　說明：若以上兩條件錯漏一個，本步不得分． 　　若選擇另一問題： 　　⑵∵，而AD＝1，AO＝2，OC＝4，則DG＝2，　　　　4分 　　又∵，而AB＝6，CP＝2，OC＝4，則FG＝3， 　　∴SDEFG＝DG·FG＝6．