Question

【題目】已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F(xiàn)，且∠EAF=60°．

（1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關系為： ；

（2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；

（3）求△AEF周長的最小值。

(4) 如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15°時，求點F到BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）AE=EF=AF； (2) 見解析；（3）6 ；（4）3－ .

【解析】

（1）如下圖1，連接AC，由已知條件易得∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF=60°，由此可得△BAE≌△CAF，從而可得AE=AF，這樣結(jié)合∠EAF=60°可得△AEF是等邊三角形，由此即可得到AE=AF=EF；

（2）如下圖2，連接AC，同（1）可得△ABE≌△ACF，即可得到BE=CF；

（3）由（1）可知△AEF是等邊三角形，由此可知當AE⊥BC時，AE最小，△AEF的周長最小，由已知條件求出此時AE的值，即可得到△AEF周長的最小值；

（4）如下圖3，過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，這樣結(jié)合AB=4，∠ABC=60°，在Rt△ABG中易得BG=2，AG=，由∠BAE=15°可得∠AEB=45°從而可得EG=AG=，由此可得BE=；再由已知條件證得△ABE≌△ACF，即可得到CF=BE=，這樣在Rt△CFH中求得FH的長即可得到點F到BC的距離.

（1）如下圖1，連接AC，

∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA=60°，

∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ABE=∠ACF，

∵∠EAF=60°=∠BAC，

∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF，

∴△BAE≌△CAF，

∴AE=AF，

又∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE=EF=AF；

（2）證明：如下圖2，連接AC，同（1）可得△BAE≌△CAF，

∴BE=CF；

（3）由（1）可知：△AEF是等邊三角形，

∴當AE最短時，△AEF的周長最小，

即當AE⊥BC時，△AEF的周長最小，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAE=30°，

∴BE=AB=2，

∴AE=，

∴△AEF的最小周長=；

（4）如下圖3，過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，

∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，

∴∠AEB=45°，

在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，

∴BG=2，AG=2，

在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，

∴AG=GE=2，

∴EB=EG﹣BG=2﹣2，

∵△AEB≌△AFC，

∴∠ABE=∠ACF=120°，EB=CF=2﹣2，

∴∠FCE=60°，

在Rt△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2-2，

∴CH= - 1．

∴FH=（ - 1）=3﹣．

∴點F到BC的距離為．