Question

如圖，已知AB=AC，以AB為直徑的圓O交邊BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）求證：DE是圓O的切線；
（2）如果∠BAC=120°，求證：DE=BC．

Answer 1

（1）證明：
連接OD、AD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC（三線合一定理），
∵BO=OA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是半徑，
∴DE是圓O的切線；

（2）證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴DE=DC，
∵DC=BD=BC，
∴DE=BC．
分析：（1）連接OD、AD，根據(jù)圓周角定理求出∠ADB=90°，根據(jù)等腰三角形的三線合一得出BD=DC，求出OD是△BAC的中位線，推出OD∥AC，推出DE⊥OD，根據(jù)切線的判定定理推出即可；
（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出DE=DC，根據(jù)DC=BC，代入求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性比較強(qiáng)，考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，切線的判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形的中位線定理等，注意：含30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．