Question

【題目】如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝，DC＝5，BC＝6，以點(diǎn)B為圓心，BD為半徑作圓弧，分別交邊CD、BC于點(diǎn)E、F．

（1）求sin∠BDC的值；

（2）聯(lián)結(jié)BE，設(shè)點(diǎn)G為射線DB上一動(dòng)點(diǎn)，如果△ADG相似于△BEC，求DG的長(zhǎng)；

（3）如圖2，點(diǎn)P、Q分別為邊AD、BC上動(dòng)點(diǎn)，將扇形DBF沿著直線PQ折疊，折疊后的弧D'F'經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與AB上的一點(diǎn)H（點(diǎn)D、F分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'，F'），設(shè)BH＝x，BQ＝y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫(xiě)定義域）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）y＝

【解析】

（1）如圖1中，連接BE，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥BC于K，過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥CD于J．想辦法求出BJ，BD即可解決問(wèn)題．

（2）分兩種情形分別求解：①當(dāng)△ADG∽△BCE時(shí)．②當(dāng)△ADG∽△ECB時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．

（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥PQ交于J，連接BJ，JH，JQ，過(guò)點(diǎn)J作JG⊥BH于G，過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥JH于K．由題意BQ＝QJ＝y，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．

（1）如圖1中，連接BE，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥BC于K，過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥CD于J．

在Rt△CDK中，∵∠DKC＝90°，CD＝5，cos∠C＝＝，

∴CK＝3，

∵BC＝6，

∴BK＝CK＝3，

∵AD∥BC，∠ABC＝90°，

∴∠A＝90°

∵DK⊥BC，

∴∠A＝∠ABC＝∠DKB＝90°，

∴四邊形ABKD是矩形，

∴AD＝BK＝3，

∴DB＝DC＝5，DK＝＝＝4，

∵S△DCB＝BCDK＝CDBJ，

∴BJ＝，

∴DJ＝＝＝，

∵BD＝BE，BJ⊥DE，

∴DJ＝JE＝，

∴EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣＝，

∴sin∠BDC＝＝＝．

（2）如圖2中，

∵AD∥BC，

∴∠ADG＝∠DBC，

∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠C，

∴∠ADG＝∠C，

∵△ADG相似△BEC，

∴有兩種情形：當(dāng)△ADG∽△BCE時(shí)，

∴＝，

∴＝，

∴DG＝，

當(dāng)△ADG∽△ECB時(shí)，

＝，

＝，

∴DG＝．

（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥PQ交于J，連接BJ，JH，JQ，過(guò)點(diǎn)J作JG⊥BH于G，過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥JH于K．

由題意：QB＝QJ＝y，BJ＝BD＝5，

∵JB＝JH，JG⊥BH，

∴BG＝GH＝x，

∴JG＝＝，

∵∠GBQ＝∠BGK＝∠QKG＝90°，

∴四邊形BGKQ是矩形，

∴BQ＝GK＝y，QK＝GB＝x，

在Rt△QKJ中，

∵JQ2＝QK2+KJ2，

∴y2＝x2+（﹣y）2，

∴y＝．