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5.如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=55,則下列結(jié)論:①AC⊥BD;②AC⊥CD;③tan∠DAC=2;④四邊形ABCD的面積為31;⑤BD=241.正確的是②③④⑤.

分析 根據(jù)勾股定理及其逆定理可得AC2+CD2=DA2知∠ACD=90°,即AC⊥CD,故①錯(cuò)誤,②正確;根據(jù)正切函數(shù)的定義可判斷③;根據(jù)四邊形ABCD的面積為S△ABC+S△ACD可判斷④;作DM⊥BC,交BC延長(zhǎng)線于M,連接AC,由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25,求出AC2+CD2=AD2,由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形,∠ACD=90°,證出∠ACB=∠CDM,得出△ABC∽△CMD,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出CM=2AB=6,DM=2BC=8,得出BM=BC+CM=10,再由勾股定理求出BD即可判斷⑤.

解答 解:∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC=AB2+BC2=5,
在△ACD中,∵CD=10,DA=55,
∴AC2+CD2=25+100=125=DA2,
∴∠ACD=90°,即AC⊥CD,故①錯(cuò)誤,②正確;

在Rt△ACD中,tan∠DAC=CDAC=105=2,故③正確;

S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12AB•BC+12AC•CD
=12×3×4+12×5×10
=31,
故④正確;

作DM⊥BC,交BC延長(zhǎng)線于M,如圖所示:

則∠M=90°,
∴∠DCM+∠CDM=90°,
∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC2=AB2+BC2=25,
∵CD=10,AD=55,
∴AC2+CD2=AD2
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°,
∴∠ACB+∠DCM=90°,
∴∠ACB=∠CDM,
∵∠ABC=∠M=90°,
∴△ABC∽△CMD,
ABCM=12,
∴CM=2AB=6,DM=2BC=8,
∴BM=BC+CM=10,
∴BD=BM2+DM2=241,故⑤正確;
故答案為:②③④⑤.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理;熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì),證明由勾股定理的逆定理證出△ACD是直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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同步練習(xí)冊(cè)答案
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