Question

如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，M是直線AB上的一個動點，MC⊥x軸于C，MD⊥y軸于D，若點M的橫坐標為a．
（1）當點M在線段AB上運動時，用a的代數式表示四邊形OCMD的周長；
（2）在（1）的條件下，求四邊形OCMD面積的最大值；
（3）以M為圓心MD為半徑的⊙M與以A為圓心AC為半徑的⊙A相切時，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由MC⊥x軸于C，MD⊥y軸于D，易得四邊形OCMD是矩形，又由點M的橫坐標為a，M是直線AB上的一個動點，即可求得MC的值，則可求得四邊形OCMD的周長；
（2）由MD=a，MC=-a+6，即可得四邊形OCMD面積為：-（a-4）²+12，則可求得四邊形OCMD面積的最大值；
（3）由以M為圓心MD為半徑的⊙M與以A為圓心AC為半徑的⊙A相切，可得AM=MD+AC，則可得AC=8-a，AM=8，又由勾股定理，即可得方程：8²=（8-a）²+（-a+6）²，解此方程即可求得答案．
解答：解：（1）∵MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∴四邊形OCMD是矩形，
∵點M的橫坐標為a，M是直線AB上的一個動點，
∴y=-a+6，
∴MD=OC=a，MC=OD=-a+6，
∴四邊形OCMD的周長為：MD+OC+MC+OD=2[a+（-a+6）]=a+12；

（2）∵S_{四邊形OCMD}=MD•MC=a×（-a+6）=-a²+6a=-（a²-8a）=-（a-4）²+12，
∴當a=4時，S_{四邊形OCMD}最大，最大值為12，
即四邊形OCMD面積的最大值為12；

（3）∵以M為圓心MD為半徑的⊙M與以A為圓心AC為半徑的⊙A相切，
∴AM=MD+AC，
∵直線y=-x+6交x軸于點A，
∴點A的坐標為：（8，0），
∴OA=8，
∵MD=OC=a，
∴AC=8-a，
∴AM=a+8-a=8，
在Rt△ACM中，AM²=AC²+MC²，
即8²=（8-a）²+（-a+6）²，
∴25a²-400a+576=0，
∴（5a-72）（5a-8）=0，
解得：a=＞8（舍去），a=，
∴a的值為：．
點評：此題考查了矩形的性質、點與一次函數的關系、二次函數的最值問題、圓與圓的位置關系以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．