Question

【題目】科技改變著人們的生活，“高鐵出行”已成為人們的日常重要交通方式，如今，河南高鐵也在發(fā)生著日新月異的變化，2018年我省為連接A、B兩座城市之間的高鐵運(yùn)行，某工程勘測(cè)隊(duì)在點(diǎn)E處測(cè)得城市A在北偏西16°方向上，城市B在北偏東60°方向上，該勘測(cè)隊(duì)沿正東方向行進(jìn)了7.5km到達(dá)點(diǎn)F處，此時(shí)測(cè)得城市A在北偏西30°方向上，城市B在北偏東30°方向上

（1）請(qǐng)結(jié)合所學(xué)的知識(shí)判斷AB、AE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）求城市A和城市B之間的距離為多少公里？（結(jié)果精確到1km）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，sin16°≈0.28，cos16°≈0.96）

Answer 1

【答案】(1) AB＝AE,理由見(jiàn)解析；（2）城市A和城市B之間距離約為27km．

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)立參考點(diǎn)并建立坐標(biāo)系，標(biāo)出方向角，利用余角的性質(zhì)找到相等的對(duì)應(yīng)角，在由題意已得到對(duì)應(yīng)邊，證明三角形全等．
（2）構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示涉及計(jì)算的各邊，并利用等量關(guān)系建立方程并求解即可．

解：（1）AB＝AE

理由如下：如圖

∵城市A在點(diǎn)E處北偏西16°方向上，城市B在點(diǎn)北偏東60°方向上．

∴∠AEH＝90°﹣16°＝74°，∠BEF＝90°﹣60°＝30°

又∵城市A在點(diǎn)F北偏西30°方向上，城市B在點(diǎn)F處北偏東30°方向上．

∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°．∠BFN＝90°﹣30°＝60°

∴∠EBF＝60°﹣30°＝30°

∴EF＝BF

又∵∠BFA＝30°+30°＝60°

在△AEF與△ABF中

∴△AEF≌△ABF（SAS）

∴AB＝AE

（2）過(guò)A作AH⊥MN于點(diǎn)H．

設(shè)AE＝x，則AH＝xsin（90°﹣16°）＝xsin74°，HE＝xcos（90°﹣16°）＝xcos74°

∴HF＝xcos74°+7.5

∴在Rt△AHF中，AH＝HFtan60°

∴xsin74°＝（xcos74°+7.5）tan60°

即0.96x＝（0.28x+7.5）×1.73

解得x≈27，即AB≈27

答：城市A和城市B之間距離約為27km．