Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線是由拋物線y=x2﹣3向右平移一個(gè)單位后得到的，它與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在該拋物線上，且橫坐標(biāo)為3．

(1)求點(diǎn)M、A、B坐標(biāo)；

(2)連結(jié)AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；

(3)點(diǎn)P是頂點(diǎn)為M的拋物線上一點(diǎn)，且位于對(duì)稱軸的右側(cè)，設(shè)PO與x正半軸的夾角為α，當(dāng)α=∠ABM時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題（1）根據(jù)平移規(guī)律寫出拋物線解析式，再求出M、A、B坐標(biāo)即可．

（2）首先證明△ABE∽△AMF，推出的值，∠BAM=90°，根據(jù)tan∠ABM=即可解決問題．

（3）分點(diǎn)P在x軸上方或下方兩種情形解決問題．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2-3向右平移一個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式為y=（x-1）2-3，

∴頂點(diǎn)M（1，-3），

令x=0，則y=（0-1）2-3=-2，

∴點(diǎn)A（0，-2），

x=3時(shí)，y=（3-1）2-3=4-3=1，

∴點(diǎn)B（3，1），

（2）過點(diǎn)B作BE⊥AO于E，過點(diǎn)M作MF⊥AO于M，

∵EB=EA=3，

∴∠EAB=∠EBA=45°，

同理可求∠FAM=∠FMA=45°，

∴△ABE∽△AMF，

∴，

又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，

∴tan∠ABM=，

（3）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，

∵y=（x-1）2-3=x2-2x-2，

∴設(shè)點(diǎn)P（x，x2-2x-2），

①點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，，

整理得，3x2-7x-6=0，

解得x1=-（舍去），x2=3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）；

②點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，，

整理得，3x2-5x-6=0，

解得x1=（舍去），x2=，x=時(shí)，y=x2-2x-2=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（，）．