Question

25、如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同一側(cè)分別作三個等邊三角形，△ABD，△BCE和△ACF．
（1）求證：△DBE≌△ABC≌△FEC；
（2）判斷四邊形ADEF的形狀并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF為矩形？（寫出猜想即可，不要求證明）
（4）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF為菱形？（寫出猜想即可，不要求證明）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠DBE=∠ABC，BD=BA，BE=BC，可證明△DBE≌△ABC，同理可證明△ABC≌△FEC，繼而得證；
（2）由（1）知DE=AC=AF，F(xiàn)E=AB=AD，則四邊形ADEF是個平行四邊形；
（3）如四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；
（4）當(dāng)AB=AC時，四邊形ADEF為菱形．

解答：證明：（1）∵∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，BD=BA，BE=BC，
∴△DBE≌△ABC（SSA），
同理可證：△ABC≌△FEC，
∴△DBE≌△ABC≌△FEC；

（2）∵△DBE≌△ABC≌△FEC，
∴DE=AC=AF，F(xiàn)E=AB=AD，
∴四邊形ADEF是個平行四邊形；

（3）∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴當(dāng)∠DAF=90°時，四邊形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
則當(dāng)∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

（4）當(dāng)△ABC為等腰三角形并且不是等邊三角形時，即AB=AC時，
由第（2）題中可知四邊形ADEF的四邊都相等，此時四邊形ADEF是菱形．

點評：本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°、平行四邊形和矩形的判定等知識，注意這些知識的靈活運(yùn)用．