Question

16、如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別另作三個等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）在△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形；
（3）對于任意△ABC，四邊形ADEF是否總存在？

Answer 1

分析：（1）可先證明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）如四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；
（3）不一定，當∠BAC=60°時不存在．

解答：證明：（1）∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
∴△ABC≌△DBE．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴當∠DAF=90°時，四邊形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
則當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

（3）不一定，當∠BAC=60°時不存在四邊形ADEF．

點評：本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°、平行四邊形和矩形的判定等知識．