Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），動(dòng)點(diǎn)M，N分別從O，B同時(shí)出發(fā)．以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒．

（1）當(dāng)時(shí)，求PC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，△NPC是以PC為腰的等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， ；（2）當(dāng)或時(shí)，△NPC是以PC為腰的等腰三角形.

【解析】試題分析：（1）利用平行于三角形底邊所構(gòu)成對(duì)應(yīng)邊成比例得到，代入數(shù)據(jù)求值.(2)隨著M，N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PC＝PN時(shí), 利用矩形的性質(zhì)，BC＝CN＋BN，求得x值 ;當(dāng)PC＝CN時(shí),列出對(duì)應(yīng)邊成比例，代入求值.

試題解析：

（1）∵ 點(diǎn)A（4，0），B（4，3），∴ OA＝4，AB＝3，

在矩形OABC中，BC＝OA＝4，OC＝AB＝3，∠AOC＝∠BCO＝90°，

在Rt△AOC中， ，

依題知：OM＝BN＝＝1，又PM⊥OA ，∴ PM∥OC，

∴，∴ ，∴ ，

∴ 當(dāng)時(shí)， .

（2）①當(dāng)PC＝PN時(shí)，△NPC是以PC為腰的等腰三角形，

延長(zhǎng)MP交BC于點(diǎn)為D，

在矩形OABC中，BC∥OA ，∴ PD⊥BC ，

又∠AOC＝∠BCO＝90°，

∴ 四邊形OCDM為矩形 ，∴ CD＝OM＝，

又PC＝PN，PD⊥BC ，∴ CN＝2CD＝，

∵ BC＝CN＋BN ，∴ ，∴ ，

∴ 當(dāng)時(shí)，△NPC是以PC為腰的等腰三角形.

② 當(dāng)PC＝CN時(shí)，△NPC是以PC為腰的等腰三角形，

由上面知：CN＝BC－BN＝＝PC， ∵ PM∥OC ，

∴， ∴， ∴，

∴ 當(dāng)時(shí)，△NPC是以PC為腰的等腰三角形；

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，△NPC是以PC為腰的等腰三角形.