Question

【題目】如圖1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰為BC的中點(diǎn)，tanB=2。

（1）求證：AD=AE；

（2）如圖2，點(diǎn)P在BE上，作EF⊥DP于點(diǎn)F，連結(jié)AF，求證：DF-EF=AF；

（3）請(qǐng)你在圖3中畫圖探究：當(dāng)P為射線EC上任意一點(diǎn)（P不與點(diǎn)E重合）時(shí)，作EF⊥DP于點(diǎn)F，連結(jié)AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出你的結(jié)論為____________。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）畫圖見解析，

①當(dāng)EP在線段BC上時(shí),有DFEF=AF

②當(dāng)EP2BC時(shí),DF+EF=AF.

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中點(diǎn)，結(jié)合平行四邊形的對(duì)邊相等即可得證．

（2）此題要通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)求解；作GA⊥AF，交BD于G，通過(guò)證△AFE≌△AGD，來(lái)得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得證．

（3）輔助線作法和解法同（2），只不過(guò)結(jié)論有所不同而已．

試題解析：

（1）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

∴tanB==2，

∴AE=2BE。

∵E為BC的中點(diǎn)，

∴BC=2BE，

∴AE=BC。

∵ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，

∴AE=AD。

（2）在DP上截取DH=EF（如圖）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC，

∴∠EAD=90°。

∵EF⊥PD，∠l=∠2，

∴∠ADH=∠AEF。

∵AD=AE，

∴△ADH≌△AEF，

∴∠HAD=∠FAE，AH=AF，

∴∠FAH=90°。

在Rt△FAH中，AH=AF，

∴FH=AF，

∴FH=FD-HD=FD-EF=AF。

即DF-EF=AF。

（3）按題目要求所畫圖形見圖，

①當(dāng)EP在線段BC上時(shí),有DFEF=AF

②當(dāng)EP2BC時(shí),DF+EF=AF.

③當(dāng)EP>2BC時(shí),EFDF=AF.

點(diǎn)睛:此題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì),難度適中,正確的構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.