Question

如圖，平面直角坐標系中O為坐標原點，直線y=x+6與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C為OA中點；
（1）求直線BC解析式；
（2）動點P從O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿線段OA向終點A運動，同時動點Q從C出發(fā)沿線段CB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，過點Q作QM∥AB交x軸于點M，若線段PM的長為y，點P運動時間為t（s），求y于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，以PC為直徑作⊙N，求t為何值時直線QM與⊙N相切．

Answer 1

解：（1）∵y=x+6，
∴x=0時，y=6；y=0時，x=-8，
∴B（0，6），A（-8，0），
∵C為OA中點，
∴C（-4，0），
設(shè)BC：y=kx+b，
∴-4k+b=0，b=6，
∴k=，
∴y=x+6；

（2）∵QM∥AB，
∴=，
∴=，
∴CM=t，
∴-4-x_M=t，
∴x_M=-4-t，
∵x_P=-2t，
∴0＜t＜4＜時，PM=x_P-x_M=-2t-（-4-t）=-t+4，
∴y=-t+4（0＜t＜4）；

（3）過N點作NH⊥MQ交直線MQ于H點．
∵N為PC的中點，
∴x_N==-2-t，
∴MN=-2-t-（-4-t）=2，
∵MQ∥AB，
∴∠QMC=∠BAO，
∴sin∠QMC=sin∠BAO=，
∴NH=2×=，
∵PC=|-2t+4|，
∴|-2t+4|=2×=，解得，t=或t=．
綜上，t=或t=時，直線QM與⊙N相切．
分析：（1）先根據(jù)直線y=x+6與x軸、y軸分別交于A、B兩點求出AB兩點的坐標，再由點C是OB的中點求出C點坐標，利用待定系數(shù)法及可求出直線BC的解析式；
（2）由QM∥AB可知=，再由點Q從C出發(fā)沿線段CB以每秒個單位長度的速度向終點B運動可知CQ=可用t表示出CM的長，再由C（-4，0）可知-4-x_M=t，再由x_P=-2t，PM=x_P-x_M=-2t-（-4-t）即可得出結(jié)論；
（3）過N點作NH⊥MQ交直線MQ于H點，根據(jù)N為PC的中點可知x_N==-2-t，故可得出MN的長，再根據(jù)MQ∥AB可知∠QMC=∠BAO，由sin∠QMC=sin∠BAO=可知NH=2×=，所以PC=|-2t+4|，由此即可得出結(jié)論．
點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、平行線分線段成比例定理及銳角三角函數(shù)的定義等知識，難度適中．