Question

【題目】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），連接AB，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AO上的動點(diǎn)，連接OC、CQ，以BQ為邊構(gòu)造等邊△BPQ，連接OP、PQ．填空：

①OP與CQ的大小關(guān)系是　 　．

②OP的最小值為　 　．

（2）解決問題：在（1）的條件下，點(diǎn)Q運(yùn)動的過程中當(dāng)△ACQ為直角三角形時(shí)，求OP的長？

（3）拓展探究：如圖2，當(dāng)點(diǎn)B為直線x＝﹣1上一動點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），連接AB，以AB為一邊向下作等邊△ABP，連接OP，請直接寫出OP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①OP＝CQ；②1；（2）OP的長為1或；（3）OP的最小值為+1

【解析】

（1）①證明△OBC是等邊三角形，得出OB＝BC，證明△PBO≌△QBC（SAS），可得出結(jié)論；

②當(dāng)CQ⊥OA時(shí)，CQ值最小，得出最小值為OB＝1；

（2）分兩種情況：①以Q點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，CQ⊥AO于點(diǎn)Q，②以C點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，CQ⊥AC，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；

（3）以OA為對稱軸，在x＝﹣1上取D，E兩點(diǎn)，作等邊△ADE，連接EP，并延長EP交x軸于點(diǎn)F．證明△AEP≌△ADB（SAS），得出∠AEP＝∠ADB＝120°，可求出HF，OF，當(dāng)OP⊥EF時(shí)，OP最小，則OP＝OF＝．

解：（1）問題發(fā)現(xiàn)

①∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），

∴OA＝2，OB＝2，

，

∴∠OBA＝60°，

∵C是AB的中點(diǎn)，

∴OB＝OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB＝BC，

∵△BPQ是等邊三角形，

∴PB＝BQ，∠PBQ＝60°，

∴∠PBO＝∠QBC，

∴△PBO≌△QBC（SAS），

∴OP＝CQ，

②∵C是AB的中點(diǎn)，

∴CQ⊥OA時(shí)，CQ值最小，最小值為OB＝1，

∴OP的最小值為1．

故答案為：OP＝CQ；1；

（2）解決問題

當(dāng)三角形ACQ為直角三角形時(shí)，

①以Q點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，CQ⊥AO于點(diǎn)Q，

∵C為AB的中點(diǎn)，

∴AC＝，

∴CQ＝AC＝1，

即OP＝1，

②以C點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，CQ⊥AC，

∵AC＝2，

∴CQ＝ACtan30°＝2span>×＝．

即OP＝．

綜上所述：當(dāng)三角形ACQ為直角三角形時(shí)，OP的長為1或；

（3）拓展探究

如圖，以OA為對稱軸，在x＝﹣1上取D，E兩點(diǎn)，作等邊△ADE，連接EP，并延長EP交x軸于點(diǎn)F．

在△AEP與△ADB中，

∵AB＝AP，∠BAD＝∠PAE，AD＝AE，

∴△AEP≌△ADB（SAS），

∴∠AEP＝∠ADB＝120°，

∴∠HEF＝60°，且EH⊥AF，

∴HF＝HA＝+1，

∴FO＝FH+OH＝+2．

∴點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動，

當(dāng)OP⊥EF時(shí)，OP最小，

∴OP＝OF＝，

則OP的最小值為+1．