Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過(guò)D作直線(xiàn)DE垂直BC于F，且交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．

（1）求證：直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若cos∠BAC= ，⊙O的半徑為6，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接BD、OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，

∵BA=BC，

∴D為AC中點(diǎn)，又O是AB中點(diǎn)，

∴OD為△ABC的中位線(xiàn)，

∴OD∥BC，

∴∠BFE=∠ODE，

∵DE⊥BC，

∴∠BFE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)

（2）

解：

∵⊙O的半徑為6，

∴AB=12，

在Rt△ABD中，cos∠BAC= = ，

∴AD=4，

由（1）知BD是△ABC的中線(xiàn)，

∴CD=AD=4．

【解析】（1）連接BD、OD，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到BD與AC垂直，又BA=BC，利用等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)得到D 為AC的中點(diǎn)，又O為AB的中點(diǎn)，可得出OD為三角形ABC的中位線(xiàn)，利用三角形中位線(xiàn)定理得到OD與BC平行，由EF垂直于BC，得到EF垂直于OD， 可得出EF為圓O的切線(xiàn)；（2）由圓的半徑為6，求出直徑AB為12，在直角三角形ABD中，由cos∠BAC的值及AB的長(zhǎng)，求出AD的長(zhǎng)，再由第一問(wèn) 得到D為AC的中點(diǎn)，得到CD=AD，即可求出CD的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圓周角定理和切線(xiàn)的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；切線(xiàn)的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)才能正確解答此題．