【題目】如果一個三角形的三邊a,b,c能滿足a2+b2=nc2(n為正整數(shù)),那么這個三角形叫做“n階三角形”.如三邊分別為1、2、的三角形滿足12+22=1×()2,所以它是1階三角形,但同時也滿足()2+22=9×12,所以它也是9階三角形.顯然,等邊三角形是2階三角形,但2階三角形不一定是等邊三角形.
(1)在我們熟知的三角形中,何種三角形一定是3階三角形?
(2)若三邊分別是a,b,c(a<b<c)的直角三角形是一個2階三角形,求a:b:c.
(3)如圖1,直角△ABC是2階三角形,AC<BC<AB,三條中線BD、AE、CF所構(gòu)成的三角形是何種三角形?四位同學(xué)作了猜想:
A同學(xué):是2階三角形但不是直角三角形;
B同學(xué):是直角三角形但不是2階三角形;
C同學(xué):既是2階三角形又是直角三角形;
D同學(xué):既不是2階三角形也不是直角三角形.
請你判斷哪位同學(xué)猜想正確,并證明你的判斷.
(4)如圖2,矩形OACB中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A在y軸上,B在x軸上,C點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1),反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象與直線AC、直線BC交于點(diǎn)E、D,若△ODE是5階三角形,直接寫出所有可能的k的值.
【答案】(1)證明見原書;(2)a:b:c=1::;(3)C同學(xué)猜想正確,證明見解析;(4)滿足題意k的值為1,4,7,.
【解析】
試題分析:(1)等腰直角三角形為3階三角形,根據(jù)題中的新定義驗(yàn)證即可;
(2)根據(jù)題中的新定義列出關(guān)系式,再利用勾股定理列出關(guān)系式,即可確定出a,b,c的比值;
(3)C同學(xué)猜想正確,由直角△ABC是2階三角形,根據(jù)(2)中的結(jié)論得出AC,BC,AB之比,設(shè)出三邊,表示出AE,BD,CF,利用題中的新定義判斷即可;
(4)根據(jù)圖形設(shè)出E與D坐標(biāo),利用勾股定理表示出OE2,OD2以及ED2,由△ODE是5階三角形,分類討論列出關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到k的值
試題解析:(1)等腰直角三角形一定是3階三角形,
理由為:設(shè)等腰直角三角形兩直角邊為a,a,
根據(jù)勾股定理得:斜邊為a,則有a2+(a)2=3a2,即等腰直角三角形一定是3階三角形;
(2)∵△ABC為一個2階直角三角形,∴c2=a2+b2,且c2+a2=2b2,
兩式聯(lián)立得:2a2+b2=2b2,整理得:b=a,c=a,則a:b:c=1::;
(3)C同學(xué)猜想正確,
證明如下:如圖,∵△ABC為2階直角三角形,∴AC:BC:AB=1::,
設(shè)BC=2,AC=2,AB=2,∵AE,BD,CF是Rt△ABC的三條中線,
∴AE2=6,BD2=9,CF2=3,∴BD2+CF2=2AE2,AE2+CF2=BD2,
∴BD,AE,CF所構(gòu)成的三角形既是直角三角形,又是2階三角形;
(4)根據(jù)題意設(shè)E(k,1),D(2,),則AE=k,EC=2﹣k,BD=,CD=1﹣,OA=1,OB=2,
根據(jù)勾股定理得:OE2=1+k2,OD2=4+,ED2=(2﹣k)2+(1﹣)2,
由△ODE是5階三角形,分三種情況考慮:
當(dāng)OE2+OD2=5ED2時,即1+k2+4+=5[(2﹣k)2+(1﹣)2],
整理得:k2﹣5k+4=0,即(k﹣1)(k﹣4)=0,解得:k=1或k=4;
當(dāng)OE2+ED2=5OD2時,(2﹣k)2+(1﹣)2+1+k2=5(4+),
整理得:k2﹣5k﹣14=0,即(k﹣7)(k+2)=0,
解得:k=7或k=﹣2(舍去);
當(dāng)OD2+ED2=5OE2時,4++(2﹣k)2+(1﹣)2=5(1+k2),
整理得:7k2+10k﹣8=0,即(7k﹣4)(k+2)=0,
解得:k=或k=﹣2(舍去),
綜上,滿足題意k的值為1,4,7,.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】揚(yáng)州市中小學(xué)全面開展“體藝2+1”活動,某校根據(jù)學(xué)校實(shí)際,決定開設(shè)A:籃球,B:乒乓球,C:聲樂,D:健美操等四中活動項(xiàng)目,為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動項(xiàng)目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請回答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有 人.
(2)請你將統(tǒng)計(jì)圖1補(bǔ)充完整.
(3)統(tǒng)計(jì)圖2中D項(xiàng)目對應(yīng)的扇形的圓心角是 度.
(4)已知該校學(xué)生2400人,請根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校最喜歡乒乓球的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小亮家與姥姥家相距24km,小亮8:00從家出發(fā),騎自行車去姥姥家.媽媽8:30從家出發(fā),乘車沿相同路線去姥姥家.在同一直角坐標(biāo)系中,小亮和媽媽的行進(jìn)路程S(km)與北京時間t(時)的函數(shù)圖象如圖所示.根據(jù)圖象得到小亮結(jié)論,其中錯誤的是( )
A. 小亮騎自行車的平均速度是12km/h
B. 媽媽比小亮提前0.5小時到達(dá)姥姥家
C. 媽媽在距家12km處追上小亮
D. 9:30媽媽追上小亮
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下表格是某校初一(1)班班長候選人得票數(shù)領(lǐng)先的三位同學(xué)的得票情況,則小明得票的頻數(shù)是( )
候選人 | 小紅 | 小明 | 小麗 |
唱票記錄 | 正正正一 | 正 | 正正正正正一 |
A.16
B.5
C.21
D.42
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某機(jī)動車出發(fā)前油箱內(nèi)有油42升,行駛?cè)舾尚r后,途中在加油站加油若干升.油箱 中剩余油量(升)與行駛時間(時)的 函數(shù)關(guān)系如圖所示,根據(jù)圖象回答問題:
①機(jī)動車行駛幾小時后加油?
②機(jī)動車每小時耗油多少升?
③中途加油多少升?
④如果加油站距目的地還有230公里,機(jī)動車平均每小時行駛40公里,要到達(dá)目的地,油箱中的油是否夠用?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中,正確的是( )
A.延長直線AB
B.在射線AM上順次截取線段AC=CB=a
C.如果AC=BC,則點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)
D.平角是一條直線
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中,正確的是( )
A.兩條射線組成的圖形叫做角
B.直線l經(jīng)過點(diǎn)A,那么點(diǎn)A在直線l上
C.把一個角分成兩個角的射線叫角的平分線
D.若AB=BC,則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在研究相似問題時,甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下:
甲:將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張,得到新三角形,它們的對應(yīng)邊間距為1,則新三角形與原三角形相似.
乙:將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張,得到新的矩形,它們的對應(yīng)邊間距均為1,則新矩形與原矩形相似.
對于兩人的觀點(diǎn),下列說法正確的是( )
A.甲對,乙不對 B.甲不對,乙對 C.兩人都對 D.兩人都不對
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