Question

【題目】已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，點(diǎn)M、N分別在邊CA，CB上（不與端點(diǎn)重合），BN＝AM，射線AG∥BC交BM延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)E在直線AN上，EA＝ED．

（1）（觀察猜想）如圖1，點(diǎn)E在射線NA上，當(dāng)∠ACB＝45°時(shí)，①線段BM與AN的數(shù)量關(guān)系是　 　； ②∠BDE的度數(shù)是　 　；

（2）（探究證明）如圖2點(diǎn)E在射線AN上，當(dāng)∠ACB＝30°時(shí)，判斷并證明線段BM與AN的數(shù)量關(guān)系，求∠BDE的度數(shù)；

（3）（拓展延伸）如圖3，點(diǎn)E在直線AN上，當(dāng)∠ACB＝60°時(shí)，AB＝3，點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn)，直線ED與直線BC交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫出線段CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①BM＝AN，②135°；（2）∠BDE＝30°；（3）或4

【解析】

（1）如圖1中，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O．想辦法證明∠BMC=∠BFE，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；

（2）如圖2中，設(shè)AC交DF于點(diǎn)O．解決問題的方法類似（1）；

（3）分兩種情形分別畫出圖形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．

（1）如圖1中，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，

∵CB＝CA，

∴∠ABN＝∠BAM，

∵BN＝AM，AB＝BA，

∴△ABN≌△BAM（SAS），

∴BM＝AN，∠ANB＝∠AMB，

∴∠ANC＝∠BMC，

∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∵AG∥BC，

∴∠EAD＝∠ENF，∠EDA＝∠EFN，

∴∠BMC＝∠BFE，

∴∠MOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，

∵∠C＝45°，∠FOC＝∠MOD，

∴∠MDO＝45°，

∴∠BDE＝135°，

故答案為BM＝AN，135°．

（2）如圖2中，設(shè)AC交DF于點(diǎn)O．

∵CB＝CA，

∴∠ABN＝∠BAM，

∵BN＝AM，AB＝BA，

∴△ABN≌△BAM（SAS），

∴BM＝AN，∠ANB＝∠AMB，

∴∠ANC＝∠BMC，

∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∵AG∥BC，

∴∠EAD＝∠ENF，∠EDA＝∠EFN，

∴∠BMC＝∠BFE，

∴∠MOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，

∵∠C＝30°，∠FOC＝∠MOD，

∴∠MDO＝30°，

∴∠BDE＝30°．

（3）①如圖3﹣1中，

當(dāng)BN＝BC時(shí)，作MH⊥AB于H，

由題意AM＝BN＝1，

在Rt△AHM中，∵∠MAH＝60°．AM＝1，

∴AH＝，BH＝，HM＝，

在Rt△BMH中，BM＝AN＝DF＝，

由（2）可知：∠BDF＝∠ACB＝60°，

∵∠CBM＝∠DBF，

∴△CBM∽△DBF，

∴，

∴，

∴BF＝，

∴CF＝﹣3＝．

②如圖3﹣2中，

當(dāng)CN＝BC時(shí)，同法可得CF＝4．

綜上所述，滿足條件的CF的長(zhǎng)為或4．