Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+與y軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱

（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ；

（2）過點(diǎn)B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點(diǎn)，且PB=PC，求線段PB的長（用含k的式子表示），并判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說明理由；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對稱點(diǎn)C′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（0，）；（2）點(diǎn)P在拋物線上,理由詳見解析；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）．

【解析】試題分析：（1）由拋物線解析式可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用對稱可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）可先用k表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，過B作BD⊥l于點(diǎn)D，條件可知P點(diǎn)在x軸上方，設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，可表示出PD、PB的長，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，則可求出PB的長，此時(shí)可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可判斷P點(diǎn)在拋物線上；（3）利用平行線和軸對稱的性質(zhì)可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，則可求得OC的長，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2+與y軸相交于點(diǎn)A，

∴A（0，），

∵點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱，

∴BA=OA=，

∴OB=，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），

故答案為：（0，）；

（2）∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），

∴直線解析式為y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣，

∴OC=﹣，

∵PB=PC，

∴點(diǎn)P只能在x軸上方，

如圖1，過B作BD⊥l于點(diǎn)D，設(shè)PB=PC=m，

則BD=OC=﹣，CD=OB=，

∴PD=PC﹣CD=m﹣，

在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，

即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得m=+，

∴PB=+，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，+），

當(dāng)x=﹣時(shí)，代入拋物線解析式可得y=+，

∴點(diǎn)P在拋物線上；

（3）如圖2，連接CC′，

∵l∥y軸，

∴∠OBC=∠PCB，

又PB=PC，

∴∠PCB=∠PBC，

∴∠PBC=∠OBC，

又C、C′關(guān)于BP對稱，且C′在拋物線的對稱軸上，即在y軸上，

∴∠PBC=∠PBC′，

∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，

在Rt△OBC中，OB=，則BC=1

∴OC=，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入拋物線解析式可得y=（）2+=1，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）．