Question

如圖，AB=2，BC=5，AB⊥BC與B，l⊥BC于C，點P自點B開始沿射線BC移動，過點P作PQ⊥PA交直線l于點Q．
（1）求證：∠A=∠QPC；
（2）當點P運動到何處時，PA=PQ？并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC=90°，
∵AB⊥BC與B
∴∠A+∠APB=90°，
∴∠A=∠QPC；


（2）當P運動到離C處距離為2時，PA=PQ，
證明：當PC=2時，PC=AB，
在△ABP與△PCQ中，
∵，
∴△ABP≌△PCQ（ASA），
∴PA=PQ；
同理，BP=7時，PC=2也符合，
所以，點P運動到與點C距離為2時，PA=PQ．
分析：（1）根據(jù)直角三角形的兩內(nèi)角互余以及∠A+∠APB=90°，根據(jù)同角的余角相等，即可證得；
（2）P運動到離C處距離為2時，PA=PQ，此時易證△ABP≌△PCQ，即可證得．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及余角的性質(zhì)：同角的余角相等，正確證明∠A=∠QPC是關(guān)鍵．