Question

已知四邊形ABCD，連接AC、BD交于點O，且滿足條件：AB+DC=AD+BC，AB²+AD²=BC²+DC²，
（1）若AB=AD，求證：∠BAC=∠BCA；
（2）若AB＞AD，當OD繞點O逆時針旋轉180°時，點D能否落在線段OB上，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB+DC=AD+BC，AB=AD，
∴DC=BC，
∵AB²+AD²=BC²+DC²，
∴AB=AD=BC=DC，
∴∠BAC=∠BCA；

（2）當OD繞點O逆時針旋轉180°時，點D能落在線段OB上．
∵AB²+AD²=BC²+DC²，
∴AB²-DC²=BC²-AD²，
∴（AB+DC）（AB-DC）=（AD+BC）（BC-AD），
∵AB+DC=AD+BC，
∴AB-DC=BC-AD，
∴AB=BC，DC=AD，
∴BD垂直平分AC，且OB＞OD，
∴當OD繞點O逆時針旋轉180°時，點D能落在線段OB上．
分析：（1）由AB+DC=AD+BC，AB²+AD²=BC²+DC²，AB=AD，可得AB=AD=BC=DC，然后由等邊對等角，即可證得∠BAC=∠BCA；
（2）由AB+DC=AD+BC，AB²+AD²=BC²+DC²，可證得AB=BC，DC=AD，又由AB＞AD，可得BD垂直平分AC，且OB＞OD，即可得當OD繞點O逆時針旋轉180°時，點D能落在線段OB上．
點評：此題考查了等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質以及平方差公式的應用．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．