Question

【題目】如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別與坐標(biāo)軸重合，并且點(diǎn)B的坐標(biāo)為.將該矩形沿OB折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，OE與BC的交點(diǎn)為D.

（1）求證：△OBD為等腰三角形；

（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B，E，F(xiàn)，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（3）F點(diǎn)坐標(biāo)為，，.

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到△OBE≌△OBA，由此得到∠EOB=∠AOB，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到OD=BD，即△OBD是等腰三角形；

（2）過點(diǎn)E作軸于F交BC于G，設(shè)CD的長(zhǎng)為，則，由（1）值OD=8-x，然后根據(jù)勾股定理求出CD、OB、BD的長(zhǎng)，再根據(jù)AAS證得△OCD≌△BED，得到，最后根據(jù)三角形的面積求出EG的長(zhǎng)，進(jìn)而利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，分類討論F點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

(1)∵是由折疊所得

∴≌.，

∴，

又∵四邊形OABC是矩形

∴.，

∴

∴，

∴為等腰三角形；

（2）過點(diǎn)E作軸于F交BC于G

設(shè)CD的長(zhǎng)為，則

由(1)知

∵四邊形OABC是矩形

∴

∴在中

即

解得

即

由(1)知≌

∴

∴

∴ 在△OCD和△BED中

∴△OCD≌△BED

∴

∵軸

∴

∵

∴

∴

∴

即

∴.

∴在中

∵

∴四邊形OFGC是矩形

∴

.

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；

（3） .