Question

已知拋物線的頂點為（0，4）且與x軸交于（-2，0），（2，0）．

（1）直接寫出拋物線解析式；
（2）如圖，將拋物線向右平移k個單位，設平移后拋物線的頂點為D，與x軸的交點為A、B，與原拋物線的交點為P．
①當直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時，求此時k的值；
②是否存在這樣的k值，使得點O、P、D三點恰好在同一條直線上？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線的頂點為（0，4），可設拋物線解析式為y=ax²+4，再將點（2，0）代入，求出a=-1，即可得到拋物線解析式為y=-x²+4；
（2）①連接CE，CD，先根據切線的性質得出CE⊥OD，再解Rt△CDE，得出∠EDC=30°，然后解Rt△CDO，得出OC=，則k=OC=；
②設拋物線y=-x²+4向右平移k個單位后的解析式是y=-（x-k）²+4，它與y=-x²+4交于點P，先求出交點P的坐標是（，-k²+4），再利用待定系數(shù)法求出直線OD的解析式為y=x，然后將點P的坐標代入y=x，即可求出k的值．
解答：解：（1）∵拋物線的頂點為（0，4），
∴可設拋物線解析式為y=ax²+4，
又∵拋物線過點（2，0），
∴0=4a+4，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+4；

（2）①如圖，連接CE，CD．
∵OD是⊙C的切線，∴CE⊥OD．
在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，
∴∠EDC=30°，
∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，
∴OC=，
∴當直線OD與以AB為直徑的圓相切時，k=OC=；

②存在k=2，能夠使得點O、P、D三點恰好在同一條直線上．理由如下：
設拋物線y=-x²+4向右平移k個單位后的解析式是y=-（x-k）²+4，它與y=-x²+4交于點P，
由-（x-k）²+4=-x²+4，解得x₁=，x₂=0（不合題意舍去），
當x=時，y=-k²+4，
∴點P的坐標是（，-k²+4）．
設直線OD的解析式為y=mx，把D（k，4）代入，
得mk=4，解得m=，
∴直線OD的解析式為y=x，
若點P（，-k²+4）在直線y=x上，得-k²+4=•，
解得k=±2（負值舍去），
∴當k=2時，O、P、D三點在同一條直線上．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，拋物線平移的規(guī)律，直線與圓相切，解直角三角形，兩函數(shù)交點坐標的求法，三點共線的條件，綜合性較強，難度中等．其中（2）②除了可以將點P的坐標（，-k²+4）代入直線OD的解析式，建立關于k的方程外，還可以利用相似三角形對應邊成比例列式求解．