已知:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx-4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A兩點(diǎn).
(1)試用含a的代數(shù)式表示b;
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,以D為圓心,DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分.若將劣弧沿x軸翻折,翻折后的劣弧落在⊙D內(nèi),它所在的圓恰與OD相切,求⊙D半徑的長及拋物線的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)B是滿足(2)中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得∠POA=∠OBA?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)圖象,易得點(diǎn)A、C的坐標(biāo),代入解析式可得a、b的關(guān)系式;
(2)根據(jù)拋物線的對稱性,結(jié)合題意,分a>0,a<0兩種情況討論,可得答案;
(3)根據(jù)題意,設(shè)出P的坐標(biāo),按P的位置不同分兩種情況討論,可得答案.
解答:解:(1)解法一:∵一次函數(shù)y=kx-4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A兩點(diǎn),
∴c=0,16a+4b=0.
∴b=-4a(1分).
解法二:∵一次函數(shù)y=kx-4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A兩點(diǎn),
∴拋物線的對稱軸為直線x=2.
∴x=-=2.
∴b=-4a(1分).

(2)由拋物線的對稱性可知,DO=DA
∴點(diǎn)O在⊙D上,且∠DOA=∠DAO
又由(1)知拋物線的解析式為y=ax2-4ax
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-4a)
①當(dāng)a>0時(shí),如圖
設(shè)⊙D被x軸分得的劣弧為,它沿x軸翻折后所得劣弧為,顯然所在的圓與⊙D關(guān)于x軸對稱,設(shè)它的圓心為D'
∴點(diǎn)D'與點(diǎn)D也關(guān)于x軸對稱
∵點(diǎn)O在⊙D'上,且⊙D與OD'相切,
∴點(diǎn)O為切點(diǎn)(2分)
∴D'O⊥OD
∴∠DOA=∠D'OA=45°
∴△ADO為等腰直角三角形
∴OD=2(3分)
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-2
∴-4a=-2,
∴a=,b=-4a=-2.
∴拋物線的解析式為y=x2-2x.(4分)
②當(dāng)a<0時(shí),
同理可得:OD=2
拋物線的解析式為y=-x2+2x(5分)
綜上,⊙D半徑的長為,拋物線的解析式為y=x2-2x或y=-x2+2x.

(3)答:拋物線在x軸上方的部分上存在點(diǎn)P,使得∠POA=∠OBA
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),且y>0
①當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y=x2-2x上時(shí)(如圖)
∵點(diǎn)B是⊙D的優(yōu)弧上的一點(diǎn)
∴∠OBA=∠ADO=45°
∴∠POA=∠OBA=60°
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,
∴tan∠POE=
=tan60°,
∴y=

解得:(舍去)
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(7分)
②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y=-x2+2x上時(shí)(如圖)
同理可得,y=

解得:(舍去)
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4-2,-6+4).(9分)
綜上,存在滿足條件的點(diǎn)P,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4+2,6+4)或(4-2,-6+4).
點(diǎn)評:本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)xOy中,反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象與y=
3
x
的圖象關(guān)于x軸對稱,又與直線y=ax+2交于點(diǎn)A(m,3).已知點(diǎn)M(-3,y1)、N(l,y2)和Q(3,y3)三點(diǎn)都在反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象上. 
(l)比較y1、y2、y3的大;
(2)試確定a的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系里,如圖,已知直線:y=-x+3
2
交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B,三角板OCD如圖1置,其中∠D=30°,∠OCD=90°,OD=7,把三角板OCD繞點(diǎn).順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°,得到△OC1D1(如圖2),這時(shí)OC1交AB于點(diǎn)E,C1D1交AB于點(diǎn)F.
(1)求∠EFC1的度數(shù);
(2)求線段AD1的長;
(3)若把△OC1D1,繞點(diǎn)0順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)30.得到△OC2D2,這時(shí)點(diǎn)B在△OC2D2的內(nèi)部、外部、還是邊上?證明你的判斷.
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)中,已知點(diǎn)P(3-m,2m-4)在第一象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,已知直線y=kx+b與直線y=
1
2
x
平行,分別交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn),且A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-4,以AB為邊在第二象限內(nèi)作矩形ABCD,使AD=
5

(1)求矩形ABCD的面積;
(2)過點(diǎn)D作DH⊥x軸,垂足為H,試求點(diǎn)D的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為
y=-
6
x
y=-
6
x

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案