【題目】如圖,過ABC的頂點A分別作ACB及其外角的平分線的垂線,垂直分布為E、F,連接EF交AB于點M,交AC于點N,求證:

(1)四邊形AECF是矩形;

(2)MN=BC.

【答案】見解析

【解析】

試題分析:(1)由角平分線的定義和鄰補角定義得出ECF=90°,由AECE,AFCF,得出AEC=AFC=90°,即可得出四邊形AECF是矩形;

(2)由矩形的性質(zhì)得出EN=FN,AN=CN=AC,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CN=EF=EN,由等腰三角形的性質(zhì)得出NEC=ACE=BCE,證出ENBC,得出AMN∽△ABC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論.

證明:(1)CE平分ACB,CF平分ACD,

∴∠ACE=BCE=ACBACF=ACD,

∵∠ACB+ACD=180°

∴∠ACE+ACF=90°,

ECF=90°,

AECE,AFCF,

∴∠AEC=AFC=90°,

四邊形AECF是矩形;

(2)四邊形AECF是矩形,

EN=FN,AN=CN=AC,

CN=EF=EN,

∴∠NEC=ACE=BCE,

ENBC,

∴△AMN∽△ABC

==,

MN=BC.

練習冊系列答案
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