Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線 y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
（1）求拋物線及直線AC的解析式；
（2）E、F是線段AC上的兩點(diǎn)，且∠AEO=∠ABC，過(guò)點(diǎn)F作與y軸平行的直線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N．當(dāng)MF=DE時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將B（1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=-x²+bx+c中，可求拋物線解析式，用拋物線解析式可求A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可求直線AC的解析式；
（2）由∠AEO=∠ABC，∠EAO=∠BAC，可證△AEO∽△ABC，利用對(duì)應(yīng)邊的比線段可求AE，由CE=AC-AE可求CE，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于H，則△CEH為等腰直角三角形，由此可求E（-1，2），而D（-1，4），故MF=DE=2，由MN∥y軸，F(xiàn)在線段AC上，M在拋物線y=-x²-2x+3上，可設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-x²-2x+3），根據(jù)MF=2列方程，得-x²-2x+3-（x+3）=2，由此可求F、M、N三點(diǎn)的坐標(biāo)．在x軸上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，分為FP∥MA，MP∥FA兩種情況，利用相似比分別求出線段PN的長(zhǎng)，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過(guò)B（1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，
∴

-1+b+c=0 c=3.

解得

b=- 2 c=3.

∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3，
由y=-x²-2x+3可得A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，
∴

-3k+n=0 n=3.

，
解得

k=1 n=3.

∴直線AC的解析式為y=x+3；

（2）∵OA=OC=3，OB=1，
∴△AOC是等腰直角三角形，AC=3

2

，AB=4，
∴∠ECO=45°，
∵∠AEO=∠ABC，∠EAO=∠BAC，
∴△AEO∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AO

AC

，
∴

AE

4

=

3

3 2

，
∴AE=2

2

．
∴CE=AC-AE=3

2

-2

2

=

2

，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于H，
可得EH=CH=1，OH=2，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，2），
∵拋物線y=-x²-2x+3頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），
∴ED=2，
∴MF=ED=2，
∵F在線段AC上，M在拋物線y=-x²-2x+3上，
∴設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-x²-2x+3），
∴-x²-2x+3-（x+3）=2，
解得x₁=-2，x₂=-1（不合題意，舍去），
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），
∴FN=NA=1，
在x軸上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．
當(dāng)FP∥MA時(shí)，可得

FN

MN

=

PN

AN

．
∴

1

3

=

PN

1

．
∴PN=

1

3

．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

7

3

，0）．（6分）
當(dāng)MP∥FA時(shí)，可得

FN

MN

=

AN

PN

．
∴PN=3．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，0），
∴在x軸上存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)P、A、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

7

3

，0）或（-5，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線、拋物線解析式的確定，梯形、相似三角形的判定與性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于形數(shù)結(jié)合，考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．