Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E與A、D不重合)，G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)．

    (1)試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由．

    (2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形EGFH是菱形?并加以證明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，請(qǐng)?zhí)剿骶�段EF與線段BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）四邊形EGFH是平等四邊形

理由是：∵G、G、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)，

∴GF//EH，GF=EH

∴四邊形EGFH是平形四邊形

（2）當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，四邊形EGFH是菱形。

證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠A=∠D

∵AE=DE，∴△ABE≌△DCE，∴BE=CE

∵G、H分別是BE、CE的中點(diǎn)，∴EG=EH

又由（1）知四邊形EGFH是平等四邊形，∴四邊形EGFH是菱形

（3）EF⊥BC，EF=BC

證明：∵四邊形EGFH是正方形，

∵EG=EH，∠BEC=90°

∵G、H分別是BE、CE的中點(diǎn)，∴EB=EC

∵F是BC的中點(diǎn)，

∴EF⊥BC，EF=BC