Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)

如圖1，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，PO=2，在⊙O上找一點(diǎn)M，使得PM最長(zhǎng)．
作法如下：作射線PO交⊙O于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所求的點(diǎn)，此時(shí)PM=

3

．
請(qǐng)說(shuō)明PM最長(zhǎng)的理由．
（2）實(shí)踐運(yùn)用
如圖2，在等邊三角形 ABC中，AB=2，以AB為斜邊作直角三角形AMB，使CM最長(zhǎng)．
作法如下：以AB為直徑畫⊙O，作射線CO交⊙O右側(cè)于點(diǎn)M，則△AMB即為所求．請(qǐng)按上述方法用三角板和圓規(guī)畫出圖形，并求出CM的長(zhǎng)度．
（3）拓展延伸
如圖3，在周長(zhǎng)為m的任意形狀的△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作直角三角形AMB，直角三角形ANC，使得線段MN最長(zhǎng)，用尺規(guī)畫出圖形，此時(shí)MN=

0.5m

．（保留作圖痕跡）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)PM=PO+OM即可求出PM的長(zhǎng)；在⊙O上任取一異于點(diǎn)M的點(diǎn)M′，連接OM′，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出PM=PO+OM′＞PM′；
（2）先根據(jù)作法作出△AMB，然后在直角△ACO中利用銳角三角函數(shù)求出CO=

3

，則CM=CO+OM=

3

+1；
（3）先分別以AB、AC為直徑畫⊙O、⊙P，作射線PO交⊙O左側(cè)于點(diǎn)M，延長(zhǎng)OP交⊙P右側(cè)于點(diǎn)N，此時(shí)線段MN最長(zhǎng)；由于O、P分別為AB、AC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理即可求出MN=0.5m．

解答：解：（1）如圖1，PM=PO+OM=2+1=3．
在⊙O上任取一異于點(diǎn)M的點(diǎn)M′，連接OM′．
在△POM′中，∵PO+OM′＞PM′，
又∵PM=PO+OM=PO+OM′，
∴PM＞PM′；

（2）如圖2，
在直角△ACO中，∵∠AOC=90°，∠OAC=60°，OA=

1

2

AB=1，
∴CO=

3

OA=

3

，
∴CM=CO+OM=

3

+1；

（3）如圖3，
∵O、P分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴OA=

1

2

AB，AP=

1

2

AC，OP=

1

2

BC，
∴OA+AP+OP=

1

2

（AB+AC+BC）=

1

2

m，
∴MN=MO+OP+PN=OA+OP+AP=0.5m．
故答案為3，0.5m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題，其中涉及到三角形三邊關(guān)系定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)等知識(shí)，難度中等，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．