Question

【題目】觀察下列等式：

第1個(gè)等式： ；

第2個(gè)等式： ；

第3個(gè)等式： ；

第4個(gè)等式： ）；

…

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5=　 　=　 　；

（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an=　 　=　 　（n為正整數(shù)）；

（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．

Answer 1

【答案】（1） ； ；（2） ； ；（3）

【解析】（1）觀察知，找第一個(gè)等號(hào)后面的式子規(guī)律是關(guān)鍵：分子不變，為1；分母是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號(hào)之間的關(guān)系為：序號(hào)的2倍減1和序號(hào)的2倍加1；（2）運(yùn)用（1）中變化規(guī)律計(jì)算得出即可；（3）運(yùn)用以上規(guī)律裂項(xiàng)求和即可．

解：（1）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：a1==（1﹣）

第2個(gè)等式：a2==（﹣）

第3個(gè)等式：a3==（﹣）

第4個(gè)等式：a4==（﹣）

…

則第5個(gè)等式：a5==×（﹣）；

故答案為，×（﹣）；

（2）由（1）知，an==（﹣），

故答案為：，（﹣）；

（3）原式=+++…+

=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）

=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）

=×

=．

“點(diǎn)睛”此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，從簡(jiǎn)單情形入手，找出一般規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．