Question

（2010•閘北區(qū)一模）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點E在邊BC上（與端點不重合），點F在射線DC上．
（1）若AF=AE，并設CE=x，△AEF的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（2）當CE的長度為何值時，△AEF和△ECF相似？
（3）若，延長FE與直線AB交于點G，當CF的長度為何值時，△EAG是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得，AB=BC=CD=AD=1，CE=x，由圖形得出y=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，便可求出x與y的關系式．
（2）當△AEF和△ECF相似時，有兩種情況：
①∠AEF=90°，△AEF∽△ECF；②∠AFE=90°，△AEF∽△FCE；
以①為例，若∠AEF=90°，可得到兩組相似三角形：△AEF∽△ECF、△ECF∽△ABE，根據(jù)兩個相似三角形所得比例線段，即可證得CE=BE（以為中間量），由此可求得CE的長；
②的思路與①相同．
（3）此題應分作兩種情況考慮：
一、當F在線段DC上時，可分兩種情況：
①AE=EG，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：AB=BG=1，易證得△FCE∽△BEG，根據(jù)CE的長，易得CE：BE=1：3，即BG=3CF，由此可求出CF的長；
②AE=AG，由于BE=，AB=1，由勾股定理可求得AE=AG=，即BG=，然后按照①的方法即可求得CF的長；
二、當F在線段DC的延長線上時，可分兩種情況：
①EG=AG，由①知BG=3CF，那么EG=AG=AB-BG=1-3CF，可用CF表示出BG、EG的長，然后在Rt△BGE中，利用勾股定理求出CF的值；
②AE=AG，方法與②相同，將①題的“AB=BG=1”換成“BG=AB+AG=1+”即可．
解答：解：（1）在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，（2分）
∴BE=DF=1-x，
∴y=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，（1分）
∴，
∴（0＜x＜1）．（2分）

（2）①若∠AEF=90°，∵△AEF∽△ECF，
∴∠FAE=∠FEC=∠EAB，∴△ECF∽△ABE，
∴，，
∴，∴；（3分）
②當∠AFE=90°，同理可得，
∵，∴．（2分）

（3）①當AE=GE時，得：AB=BG=1，
∵，，
∴，∴CF=；（1分）
②當AE=AG時，∵，∴，
∵，∴，∴CF=；（1分）
③當AG=EG時，∵，∴BG=3CF，EG²=BE²+GB²，
∴，∴CF=；（1分）
④當AG=AE時，∵，∴，
∵，∴，
∴CF=．（1分）

點評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定，難點在于需要分類討論的情況較多，易造成漏解的狀況．