Question

Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=90°，∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點．下列結(jié)論：
①（BE+CF）=BC；
②S_△AEF≤S_△ABC；
③S_{四邊形AEDF}=AD•EF；
④AD≥EF；
⑤AD與EF可能互相平分，
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：先由ASA證明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB=BC，從而判斷①；
設(shè)AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面積公式得出S_△AEF=-（x-a）²+a²，S_△ABC=×a²=a²，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷②；
由勾股定理得到EF的表達(dá)式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得EF最小值為a，而AD=a，所以EF≥AD，從而④錯誤；
先得出S_{四邊形AEDF}=S_△ADC=AD，再由EF≥AD得到AD•EF≥AD²，∴AD•EF＞S_{四邊形AEDF}，所以③錯誤；
如果四邊形AEDF為平行四邊形，則AD與EF互相平分，此時DF∥AB，DE∥AC，又D為BC中點，所以當(dāng)E、F分別為AB、AC的中點時，AD與EF互相平分，從而判斷⑤．
解答：解：∵Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED與△CFD中，
∵，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB==BD=BC．
故①正確；
設(shè)AB=AC=a，AE=CF=x，則AF=a-x．
∵S_△AEF=AE•AF=x（a-x）=-（x-a）²+a²，
∴當(dāng)x=a時，S_△AEF有最大值a²，
又∵S_△ABC=×a²=a²，
∴S_△AEF≤S_△ABC．
故②正確；
EF²=AE²+AF²=x²+（a-x）²=2（x-a）²+a²，
∴當(dāng)x=a時，EF²取得最小值a²，
∴EF≥a（等號當(dāng)且僅當(dāng)x=a時成立），
而AD=a，∴EF≥AD．
故④錯誤；
由①的證明知△AED≌△CFD，
∴S_{四邊形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=AD²，
∵EF≥AD，
∴AD•EF≥AD²，
∴AD•EF＞S_{四邊形AEDF}
故③錯誤；
當(dāng)E、F分別為AB、AC的中點時，四邊形AEDF為正方形，此時AD與EF互相平分．
故⑤正確．
綜上所述，正確的有：①②⑤，共3個．
故選C．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圖形的面積，函數(shù)的性質(zhì)等知識，綜合性較強，有一定難度．