Question

【題目】已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=8，sin∠BCD= ，CE平分∠BCD，交邊AD于點E，聯(lián)結BE并延長，交CD的延長線于點P．
（1）求梯形ABCD的周長；
（2）求PE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：過D作DF⊥BC于F，

則四邊形ABFD是矩形，

∴DF=AB=4，BF=AD=8，

∵sin∠BCD= = ，

∴CD=5，

∴CF=3，

∴梯形ABCD的周長=4+8+3+5+8=27

（2）解：∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠BCE，

∵CE平分∠BCD，

∴∠DCE=∠BCE，

∴∠DEC=∠DCE，

∴DE=CD=5，

∴AE=3，

∴BE= =5，

∵DE∥BC，

∴△PED∽△PBC，

∴ ，

即 ，

∴PE= ．

【解析】（1）過D作DF⊥BC于F，根據矩形的性質得到DF=AB=4，BF=AD=8，根據三角函數(shù)的定義得到CD=5，于是得到結論；（2）根據平行線的性質得到∠DEC=∠BCE，根據角平分線的定義得到∠DCE=∠BCE，等量代換得到∠DEC=∠DCE，于是得到DE=CD=5，由勾股定理得到BE= =5，根據相似三角形的性質即可得到結論．
【考點精析】關于本題考查的梯形的定義和相似三角形的判定與性質，需要了解一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．