Question

（2008•濮陽）如圖，△ABC內接于⊙O，過點B作⊙O的切線，交于CA的延長線于點E，∠EBC=2∠C．
（1）求證：AB=AC；
（2）當=時，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）BE切⊙O于點B，根據(jù)弦切角定理得到∠ABE=∠C，把求證AB=AC的問題轉化為證明∠ABC=∠C的問題．
（2）①連接AO，交BC于點F，tan∠ABE=tan∠ABF=，轉化為求AF的問題．
②在△EBA和△ECB中，∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，得到△EBA∽△ECB，再由切割線定理，得EB²=EA×EC=EA（EA+AC），就可以求出AC的長．
解答：（1）證明：∵BE切⊙O于點B，
∴∠ABE=∠C．
∵∠EBC=2∠C，
即∠ABE+∠ABC=2∠C．
∴∠ABC=∠C．
∴AB=AC．

（2）解：①如圖，連接AO，交BC于點F
∵AB=AC，∴；
∴AO⊥BC，且BF=FC．
∵∴∴；
設AB=m，BF=2m，
由勾股定理，得AF==；
∴tan∠ABE=tan∠ABF=．
②在△EBA和△ECB中，
∵∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，∴△EBA∽△ECB，
∴；
∵，
∴EB=EA（※）；
由切割線定理，得EB²=EA×EC=EA（EA+AC）；
將（※）式代入上式，得EA²=EA（EA+AC）；
∵EA≠0，
∴AC=EA=×=4．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質，對應邊的比相等，以及切割線定理．