Question

已知a、b是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么的最小值是 ▲ ．

Answer 1

利用根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n=-2a，mn=a²+4a-2，則m²+n²=（m+n）²-2mn=4a²-2（a²+4a-2）=2a²-8a+4=2（a-2）²-4，此題還需考慮有實(shí)數(shù)根時(shí)a的取值范圍，所以利用根的判別式求出a的取值范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)綜合考慮求最小值則可．
解：∵△=（2m）²-4（m²+4m-2）≥0，
∴a≤
又∵a+b=-2m，ab=m²+4m-2，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=2（m-2）²-4，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，m＜2時(shí)，函數(shù)值隨a的增大而減小，
∴當(dāng)m=時(shí)，m²+n²的值最小，
此時(shí)=2(-2)²-4=，即最小值為．