【題目】如圖,△ACB和△DCE均為等腰三角形,點(diǎn)A,D,E在同一直線上,連接BE.

(1)如圖1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.
①求證:AD=BE;
②求∠AEB的度數(shù).
(2)如圖2,若∠ACB=∠DCE=90°,CF為△DCE中DE邊上的高,試猜想AE,CF,BE之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】
(1)

①證明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,

∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°,

∵∠ACB=∠ACD_∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,

∴∠ACD=∠BCE,

∵△ACB,△DCE都是等腰三角形,

∴AC=BC,DC=EC,

在△ACD和△BCE中,

,

∴△ACD≌△BCE(SAS),

∴AD=BE.

②解:∵△ACD≌△BCE,

∴∠ADC=∠BEC,

∵點(diǎn)A、D、E在同一直線上,且∠CDE=50°,

∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°,

∴∠BEC=130°,

∵∠BEC=∠CED+∠AEB,∠CED=50°,

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=80°


(2)

解:結(jié)論:AE=2CF+BE.

理由:∵△ACB,△DCE都是等腰直角三角形,

∴∠CDE=∠CED=45°,

∵CF⊥DE,

∴∠CFD=90°,DF=EF=CF,

∵AD=BE,

∴AE=AD+DE=BE+2CF.


【解析】(1)①欲證明AD=BE,只要證明△ACD≌△BCE即可.②由△ACD≌△BCE,推出∠ADC=∠BEC,由點(diǎn)A、D、E在同一直線上,且∠CDE=50°,推出∠ADC=180°﹣∠CDE=130°,推出∠BEC=130°,根據(jù)∠AEB=∠BEC﹣∠CED計(jì)算即可.(2)由(1)可知AD=BE,只要證明DE=2CF即可解決問題.

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