Question

【題目】如圖，是的直徑，為半徑的中點(diǎn)，過(guò)作交弦于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且.

（1）求證：是的切線；

（2）連接，，求的度數(shù)；

（3）若，，求的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）的半徑為4.

【解析】

（1）連接，由等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得：，，由垂線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得：∠OAG＋∠ADC＝90°，等角代換可得; ∠OGA＋∠DGF＝90°，繼而根據(jù)切線的判定即可求證結(jié)論；

（2）連接，先求證是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得，繼而由同弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半即可求解的度數(shù)；

（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先征得，在利用三角函數(shù)值求得： ，，然后求證由相似三角形的判定方法，由相似三角形的性質(zhì)可得：，進(jìn)而設(shè)，， ，，，代入，解方程即可求解.

（1）證明：如圖1，連接.

∵，，

∵，.

又∵，

∴，

∴，

∴，

即是的切線.

（2）解：如圖1，連接.

∵，，

∴.

∵.

∴是等邊三角形，

∴，

∴.

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).

∵，

∴.

∵，

∴，

在中，，

∴.

∵是的直徑，

∴，

∵，，

∴，

∴.

∵，設(shè)，，則，，，

∴，

解得：，

∴，

∴的半徑為4.