Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（m，0），B（m+4，0），對(duì)于線段AB和x軸上方的點(diǎn)P給出如下定義：當(dāng)時(shí)，稱點(diǎn)P為線段AB的“半月點(diǎn)”．

（1）若時(shí)，

①在點(diǎn)C（3，1），D（5，3），E（2，4）中，線段AB的“半月點(diǎn)”有 ；

②在直線上存在線段AB的“半月點(diǎn)”，求b的取值范圍．

（2）請(qǐng)從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答．

溫馨提示：兩題均答不重復(fù)計(jì)分．

問題一：直線與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，若線段AB的所有“半月點(diǎn)”都在內(nèi)部，直接寫出m的取值范圍．

問題二：點(diǎn)G（3，﹣1），點(diǎn)P為線段AB的“半月點(diǎn)”，直線GP把線段AB分成1：3兩部分，當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①D、E；②；（2）問題1：；（2）問題2：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為，．

【解析】

（1）①如圖畫出“半月型”的圖形即可判斷；

②當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）時(shí)，，當(dāng)直線與相切時(shí)，由，消去y整理得到，由題意，可得，解得或﹣6，由此即可判斷；

（2）問題一：易知“半月型”的大圓半徑為，小圓半徑為2，當(dāng)“半月型”與y軸相切時(shí)，，當(dāng)“半月型”與直線相切時(shí)，易知切點(diǎn)為（10，4），此時(shí)B（10，0），，即可推出當(dāng)時(shí)，線段AB的所有“半月點(diǎn)”都在內(nèi)部．

問題二：如圖3中，直線PG分線段AB三等分，①當(dāng)直線PG經(jīng)過Q（2，0）時(shí)，直線PG的解析式為，由求得，由，求得，即可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍.

②當(dāng)直線PG經(jīng)過F（4，0）時(shí)，同法可求.

（1）①如圖1，

由已知可知AE=BE=4，∠EAB=90°，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

AF=DF=3，∠AFD=90°，∴∠DAF=45°，

∴∠DAF+∠ABE=90°，

∴∠AHB=90°，

∴∠ADB<90°，∠ACB>90°，

∴線段AB的“半月點(diǎn)”有D，E，

故答案為D、E．

②如圖2中，

ⅰ當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）時(shí)，，

ⅱ當(dāng)直線與相切時(shí)，由，

消去y整理得到，

由題意，可得，解得或﹣6，

綜上所述，在直線上存在線段AB的“半月點(diǎn)”，b的取值范圍為．

（3）問題一：如圖，由上可知半圓AB的中點(diǎn)Q為“半月型”的大圓的圓心，

則“半月型”大圓的半徑為，小圓半徑為2，

當(dāng)“半月型”與y軸相切時(shí)，即QF⊥y軸時(shí)，此時(shí)QF=2，則，

當(dāng)“半月型”與直線相切時(shí)，即AP⊥直線y=-x+14，

此時(shí)切點(diǎn)為P，∠PBA=90°，

又直線y=-x+14與x軸的夾角∠PGB=45°，

∴∠PAB=45°，

∴△PAG為等腰直角三角形，

∴BG=PB=AB=4，

又y=0時(shí)，0=-x+14，解得x=14，即G（14，0），

∴P（10，4），B（10，0），A（6，0）

即，

∴當(dāng)時(shí)，線段AB的所有“半月點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部．

問題2：如圖3中，

∵直線PG分線段AB三等分，

①當(dāng)直線PG經(jīng)過Q（2，0）時(shí)，

直線PG的解析式為，

由，解得或（舍去），

∴，

由，解得或（舍去），

∴，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍為．

②當(dāng)直線PG經(jīng)過F（4，0）時(shí)，

直線PG的解析式為，同法可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為，．