Question

整數(shù)x，x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₂，x₂₀₀₃滿足條件：x=0，|x₁|=|x+1|，|x₂|=|x₁+1|，|x₃|=|x₂+1|，…，|x₂₀₀₃|=|x₂₀₀₂+1|，
求：|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：將各等式進(jìn)行平方運算，可去掉絕對值，表示出x₂₀₀₃²，然后進(jìn)行化簡運算即可得出答案．根據(jù)已知得出當(dāng)x=x₂=x₄=x₁₉₆₀=0，x₁=x₃=x₅=x₁₉₅₉=-1，x₁₉₆₁=1，x₁₉₆₂=2，x₁₉₆₃=3，x₂₀₀₃=43時，等號成立進(jìn)而求出即可．
解答：解：由已知得：
，
于是x₂₀₀₃²=x²+2（x+x₁+x₂+x₂₀₀₂）+2003，
又∵x=0，
∴2（x₁+x₂+x₂₀₀₃）=x₂₀₀₃²+2x₂₀₀₃-2003=（x₂₀₀₃+1）²-2004，
即|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|=|（x₂₀₀₃+1）²-2004|．
由于x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃為整數(shù)，則x₂₀₀₃+1是偶數(shù)，
比較|44²-2004|與|46²-2004|的大小，可得：
|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|≥|44²-2004|=34．
當(dāng)x=x₂=x₄=x₁₉₆₀=0，x₁=x₃=x₅=x₁₉₅₉=-1，x₁₉₆₁=1，x₁₉₆₂=2，x₁₉₆₃=3，x₂₀₀₃=43時，等號成立．
所以|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|的最小值為34．
點評：此題考查了含有絕對值的函數(shù)最值問題，雖然以計算為載體，但首先要有試驗觀察和分情況討論的能力．