Question

已知，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，8）．
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為：C（

 

，

 

）；
（2）已知直線AC與雙曲線y=

m

x

(m≠0)在第一象限內(nèi)有一交點(diǎn)Q為（5，n）；
①求m及n的值；
②若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線AO→OC的路徑以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C處停止．求△OPQ的面積S與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)t取何值時(shí)S=10．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊相等的性質(zhì)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）①設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）．將A（10，0）、C（0，8）兩點(diǎn)代入其中，即利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；然后利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將點(diǎn)Q代入函數(shù)關(guān)系式求得n值；最后將Q點(diǎn)代入雙曲線的解析式，求得m值；
②分類討論：當(dāng)0≤t≤5時(shí)，OP=10-2t；當(dāng)5＜t≤9時(shí)，OP=2t-10．

解答：解：（1）C（0，8）…（3分）

（2）①設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），過(guò)A（10，0）、C（0，8）

10k+b=0 k•0+b=8

，
解得：

k=- 4 5 b=8

∴直線AC的解析式為y=-

4

5

x+8…（5分）
又∵Q（5，n）在直線AC上，
∴n=-

4

5

×5+8=4，…（6分）
又∵雙曲線y=

m

x

(m≠0)過(guò)Q（5，4），
∴m=5×4=20…（7分）
②當(dāng)0≤t≤5時(shí)，OP=10-2t，…（8分）
過(guò)Q作QD⊥OA，垂足為D，如圖1
∵Q（5，4），∴QD=4，
∴S=

1

2

(10-2t)×4=20-4t，…（9分）
當(dāng)S=10時(shí)，20-4t=10
解得t=2.5…（10分）
當(dāng)5＜t≤9時(shí)，OP=2t-10，…（11分）
過(guò)Q作QE⊥OC，垂足為E，如圖2
∵Q（5，4），∴QE=5，
∴S=

1

2

(2t-10)×5=5t-25，…（12分）
當(dāng)S=10時(shí)，5t-25=10
解得t=7
綜上，S=

20-4t，(0≤t≤5) 5t-25，(5＜t≤9)

，
當(dāng)t=2.5秒或t=7秒時(shí)，S=10．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查反比例函數(shù)綜合題．注意解（2）②時(shí)，要分類討論，以防漏解．