Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 ，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短， 如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2 ，
∴AD=BD=2，即此時圓的直徑為2，
由圓周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OEsin∠EOH=1× = ，
由垂徑定理可知EF=2EH= ．
故答案為： ．

由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF=2EH=20Esin∠EOH=20Esin60°，因此當(dāng)半徑OE最短時，EF最短，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH．